《工程数学》课程教学大纲

（ 45学时     2 . 5学分）

大纲说明

    一、课程的性质与任务

    《工程数学》是江苏广播电视大学为工科各专业开设的一门重要的必修基础课程，它是为培养适应社会主义现代化经济发展和科学进步需要的专科应用型工程技术和工程管理人才服务的，也是学习专业理论课程知识不可缺少的基础课程。

　　本课程是在学生完成一元函数微积分、多元函数微积分等基本知识、基本理论和基本方法的学习基础上，介绍 概率论与数理统计及复变函数与积分变换 等内容。这些内容的设置，主要是为学生学习后继课程如自动控制理论、电工学、电路与磁路等课程提供必要的基础数学知识和分析方法。

    二、课程的目的与要求

    本课程的教学目的是使学生在一元函数微积分、多元函数微积分等基础上，进一步扩充在后续课程的学习和今后实际工作中必须具备的数学学科的基本知识、基本理论和基本方法，使学生初步掌握 概率论与数理统计及复变函数与积分变换 等基本概念和基本方法，培养学生具有初步的抽象思维和缜密的概括能力，提高学生综合运用所学知识分析和解决实际问题的能力以及自学能力，使学生具有较高的学习专业理论的素质。因此，通过本课程的学习，要求学生

1．初步认识概率论和数理统计是研究随机现象数量规律性的科学，掌握概率论与数理统计的基本概念和基本理论，以及处理随机现象的基本思想和基本方法，具有运用概率统计方法分析和解决实际问题的能力。

2． 熟悉 复变函数与积分变换 研究问题的方法，掌握复数的三种表示式及其互化，留数定理和留数计算，利用拉氏变换求解二阶常系数线性微分方程等实际问题。

  三、课程的教学要求层次

    教学要求中，有关定义、定理、性质、特征等概念的内容要求，由低到高分“知道、了解、理解”三个层次；有关计算、解法、公式、法则等方法的内容要求，由低到高分“会、掌握、熟练掌握”三个层次。

    四、学时和学分

本课程总学时为 45学时，合计 2 . 5 学分。

五、教材

主教材： 工程数学 ，张尧庭主编，中央广播电视大学出版社， 1993年10月第1版。

辅助参考教材可选：

     概率论与数理统计（第三版），浙江大学盛聚等编著，高等教育出版社，2001年12月第3版。

    复变函数与积分变换（第二版），华中理工大学数学系编，高等教育出版社，2003年8月第2版。

    六、课程考核

本课程成绩由两部分组成：平时成绩占 20%，期末成绩占80%。

大纲正文

  教学内容与教学要求

第一部分   随机事件及概率   （6 学时）

(一)教学内容

       1.随机事件

       随机事件的关系与运算。

       2.随机事件的概率

        随机事件的频率、概率，古典概型及其简单计算，概率的基本性质。

       3.概率的运算法则

       概率的加法公式，条件概率与乘法公式，事件的独立性。完备事件组概念，全概公式。

       4.贝努里概型

       n 重贝努里试验与二项概型。

    重点：加法公式，乘法公式，事件独立性。

    难点：古典概型问题的计算，条件概率及其计算。

（二）教学要求

    1.了解随机事件、频率、概率等概念。

    2.掌握随机事件的运算，了解概率的基本性质。

    3.了解古典概型的条件，会求解较简单的古典概型问题。

    4.熟练掌握概率的加法公式和乘法公式，掌握条件概率和全概公式。

    5.理解事件独立性概念。

    6.掌握二项概型。

（三）教学建议

    1.随机事件的概率只要求统计定义。

    2.通过实例介绍条件概率。

第二部分   随机变量的分布及数字特征     （12学时）

(一) 教学内容

1. 随机变量及其分布

随机变量的概念及分类，离散型随机变量的概率分布，连续型随机变量的概率密度，随机变量的分布函数。离散型随机变量函数的分布。

2. 随机变量的数字特征

数学期望、方差与标准差的概念，期望与方差的性质。随机变量函数的期望公式。 矩 的概念。

3. 几种重要的分布及数字特征

两点分布、二项分布、泊松分布和它们的数字特征。均匀分布、指数分布、正态分布和它们的数字特征。

4. 二维随机变量

二维随机变量的联合分布、边缘分布、独立性。二维随机变量的期望与方差的性质。

*5. 中心极限定理

切比雪夫不等式，大数定律，中心极限定理

重点：二项分布、均匀分布、正态分布 、指数分布 ，随机变量的期望与方差。

难点：随机变量的分布函数。

（二）教学要求

1. 理解随机变量的概率分布、概率密度概念，了解分布函数的概念，掌握有关随机变量的概率计算。

2. 了解期望、方差与标准差等概念，掌握求期望、方差与标准差的方法。

3. 熟练掌握几种常用离散型和连续型随机变量的分布以及它们的期望与方差。会查正态分布表。

4 ．了解随机变量独立性概念。

（三）教学建议

1 ．只给随机变量的描述特征，不给严格定义。

2 ．中心极限定理不作要求

第三部分   统计推断   （12学时）

  (一)教学内容

    1. 数理统计的基本概念

总体与样本，样本函数与统计量，样本 矩 。抽样分布（ 分布， t 分布）。

2. 点估计

点估计概念，期望与方差的点估计（矩法与最大似然法）。

3. 估计量的优良性

无偏性与有效性。

4. 区间估计

置信区间与置信度。单正态总体 与 的区间估计。

5. 假设检验的基本概念

假设检验问题的提出，假设检验的基本思想，两类错误，显著性水平。

6. 单正态总体均值与方差的检验

已知方差的均值检验的 U 检验法，未知方差的均值检验的 t 检验法。方差的假设检验的 检验法。

重点：总体、样本、统计量的概念，参数的区间估计，均值检验。

难点：似然函数，假设检验。

（二）教学要求

1. 理解总体、样本、统计量的概念，知道 分布， t 分布，会查表。

2. 掌握参数的矩估计法，会用最大似然估计法估计参数。

3. 了解估计量的无偏性、有效性的概念。

4. 了解区间估计的概念，熟练掌握求正态总体期望的置信区间。

5. 知道假设检验的基本思想，掌握单正态总体均值的检验方法，会作单正态总体方差的检验。

（三）教学建议

1 ．抽样分布只介绍定理内容，不证明。

第四部分 复变函数 （ 6 学时）

( 一 ) 教学内容

1． 复数与复变函数。

2． 解析函数，可导与解析的充要条件。

3． 复变函数积分及性质，复积分计算的一般方法，柯西积分定理，复闭积分定理，柯西积分公式，解析函数的高阶导数公式。

4． 解析函数的零点，孤立奇点，留数，留数定理。

重点：解析函数的概念及留数计算。

（二）教学要求

    1．掌握复数的概念及其几何意义，熟练掌握复数的运算法则和复数的三种表示式及其互化。

2．理解复变函数的的概念。

3．理解复变函数的可导与解析的概念，会求导数。

4．了解复变函数的积分概念，知道柯西积分公式。

5．掌握函数在极点处的留数计算公式。

（三）教学建议

    1．注重解题方法的介绍，理论推导只要求了解。

2．解析函数只要会判别，能分清可导与解析，简单介绍积分概念和柯西公式。

第五部分 积分变换 （ 9 学时）

( 一 ) 教学内容

1．付氏级数的复数形式

2．付氏积分与付氏变换

3．付氏变换及其性质

4．拉氏变换的定义，拉氏变换存在定理， 函数，拉氏变换的性质。

5．常用的拉氏变换公式，拉氏反演积分，拉氏逆变换的求法。

6．利用拉氏变换求解线性微分积分方程。

重点： 拉氏变换的定义及其计算

（二）教学要求

1．了解周期信号与非周期信号的谐波分解的基本思想。

2．理解付氏变换与拉氏变换及其逆变换的概念、性质，并会求较简单的函数的拉氏变换式。

3．掌握拉氏变换的性质，并会利用性质求一些函数的拉氏变换式。会查表求拉氏变换像函数或拉氏逆变换的像原函数。会用留数求拉氏逆变换。

4．能利用拉氏变换求解二阶常系数线性微分方程，了解用拉氏变换解方程组的初值问题的方法（一阶、二阶）。

（三）教学建议

  1．注重解题方法的介绍，理论推导只要求了解。

    2．记住几个常用的 拉氏变换 公式；举例说明如何利用常用公式和留数计算求 拉氏 逆 变换 。