第二部分：随机变量及其数字特征
学习要点：
随机变量的概率分布、概率密度的概念，随机变量的概率计算，随机变量的数字特征，正态分布的概率计算，随机变量独立性
本章重点：
随机变量的概率分布、概率密度；期望与方差的性质；二项分布和正态分布的概率计算。
复习要求：
⒈理解随机变量的概率分布、概率密度的概念，了解分布函数的概念，掌握有关随机变量的概率计算。
常见的随机变量有离散型和连续型两种类型。离散型随机变量用概率分布
来刻画，满足： ①
， ②
。
连续型随机变量用概率密度函数
来刻画，满足：①
，②
。
随机变量
的分布函数
定义为：
。
对于离散型随机变量有 
；
对于连续型随机变量有 
。
⒉了解期望、方差与标准差的概念，掌握求随机变量期望、方差的方法。
⑴ 期望：随机变量的期望记为
，定义为
（离散型随机变量，是的概率分布）
（连续型随机变量，
是的概率密度）
⑵ 方差：随机变量的方差记为
，定义为
（离散型随机变量）
（连续型随机变量）
⑶ 随机变量函数的期望：随机变量
是随机变量的函数，即
，若
存在，则在两种形式下分别表示为：
（离散型随机变量，是的概率分布）
（连续型随机变量，是的概率密度）
由此可得方差的简单计算公式：
⑷ 期望与方差的性质
①若
为常数，则
②若
为常数，则
③若
为常数，则
⒊掌握几种常用离散型和连续型随机变量的分布以及它们的期望与方差。熟练掌握正态分布的概率计算，会查正态分布表（见附表）。
常用分布：
⑴二项分布
的概率分布为
特别地，当
时，
，叫做两点分布。
⑵均匀分布
的密度函数为
⑶正态分布
的密度函数为
特别地，当
时，
，表示是服从标准正态分布的随机变量。
将一般正态分布转化为标准正态分布的线性变换：
若，令
，则
，且Y的密度函数为
服从标准正态分布的随机变量的概率为
那么一般正态分布的随机变量的概率可以通过下列公式再查表求出
常见分布的期望与方差：
二项分布：
均匀分布：
正态分布：
⒋了解随机变量独立性的概念，了解两个随机变量的期望与方差及其性质。
对于随机变量
，若对任意
有
则称与相互独立。
对随机变量
，有
若相互独立，则有
例题解析：
例1 填空题
（1）连续型随机变量的密度函数是，则
。
（2）设为随机变量，已知
，那么
。
（3）设随机变量
服从二项分布
，则
=
。
（4）设随机变量X服从二点分布，即
，
，那么
E (2X 2 +1) = ．
解：（1）由连续型随机变量概率定义知
。
正确答案：
（2）由方差性质
，得
。
正确答案：8
（3）根据教材中给出的二项分布
的期望
，
正确答案：
．
（4）因为 E (2X 2 +1) =2 E (X 2 )＋1，且E(X 2 )＝02×p＋12×q ＝ q
所以， E (2X 2 +1 )＝2q +1．
正确答案：2q +1
例2 单项选择题
（1）下列函数中，能作为随机变量密度函数的是（ ）。
A. 
B.
C. 
D. 
（2）设连续随机变量的概率密度函数
则下列等式成立的是（ ）。
A. 
B. 
C. 
D. 
（3）设随机变量
，则
（ ）。
A. 1 B. 
C.
D. 
（4）设随机变量
，则
（ ）
A. 
B. 
C.
D. 
解：（1）因为连续型随机变量密度函数必须满足：①，②。
由