第三部分：数理统计

学习要点：

总体、样本、统计量，最大似然估计法，置信区间求法，假设检验

本章重点：

总体参数的最大似然估计法；单正态总体均值的置信区间和假设检验。

教学要求：

⒈ 理解总体、样本，统计量等概念，知道分布，分布，会查表。

所研究对象的一个或多个指标的全体称为总体，组成整体的基本单位称为个体，从总体中抽取出来的个体称为样品，若干个样品组成的集合称为样本。样本中所含的样品个数称为样本容量。

统计量就是不含未知参数的样本函数。

⒉ 掌握参数的最大似然估计法。

最大似然估计法：设是来自总体（其中未知）的样本，而为样本值，使似然函数

达到最大值的称为参数的最大似然估计值。一般地，的最大似然估计值满足：

⒊ 了解估计量的无偏性，有效性概念。

参数的估计量若满足 ，则称为参数的无偏估计量。

若都是的无偏估计，而且，则称比更有效。

⒋ 了解区间估计的概念，熟练掌握方差已知条件下单正态总体期望的置信区间的求法，掌握方差未知条件下单正态总体期望的置信区间的求法。

当置信度确定后，方差已知条件下单正态总体期望的置信区间是

其中是总体标准差，是样本均值，是样本容量，由确定。

方差未知条件下单正态总体期望的置信区间是

其中称为样本标准差，满足。

⒌ 知道假设检验的基本思想，掌握单正态总体均值的检验方法，会作单正态总体方差的检验方法。

例题解析：

　　例1 填空题

（1）样本是由若干个　　　　　组成的集合。

（2）参数的估计量满足　　　　　，则称为的无偏估计量。

（3）设是正态总体的一个样本，其中未知，已知。用检验假设时，选取的统计量 。

解：（1）因为“样本是由若干个样品组成的集合”。所以正确答案：样品

（2）若参数的估计量若满足，则称为的无偏估计量。

正确答案：

（3）用未知，已知的正态总体的样本去检验假设时，一般采用U检验法。故选取的统计量为 。

正确答案：

例2 单项选择题

（1） 设是来自正态总体的样本，则（　 ）是统计量。

A. B. C. D.

（2）设样本是来自正态总体，其中未知，那么检验假设时，用的是（ 　）。

A. 检验法 B. 检验法 　C. 检验法 D. 检验法

解：（1）因为统计量是不含未知参数的样本函数，而选项B，C，D中的量都含有未知参数，所以它们都是错误的。

正确答案：A

（2）用未知的正态总体的样本去检验假设时，一般采用T检验法。

正确答案：B

　例3 设来自指数分布，密度为 ，

求的最大似然估计。

解 似然函数为

令 ， 得出

　　例4 某糖厂用自动打包机打包，每包标准重量100kg，每天需检查一次打包机工作是否正常，某日开工后测得九包糖的重量分别为（单位：kg）

99.3 98.7 100.5 101.2 98.3

99.7 101.2 100.5 99.5

问：该日打包机工作是否正常?

解 作假设

由于总体方差未知，故选择统计量 ，

由已知条件，计算可得。

计算统计量

选择显著水平，查分布临界表，得临界值

因为，所以应接受，故该日打包机工作正常。