. 《工程数学》学习辅导（ 4 ）
第四部分：复变函数
学习要点：
复数，复变函数，解析函数，复变函数的积分计算，柯西积分定理与柯西积分公式，留数及其计算
本章重点：
解析函数的概念，函数在极点处的留数计算
教学要求：
⒈熟练掌握复数的三种表示及其运算
复数的产生 , 复数的运算及其性质 , 利用复平面说明复数的三种表示之间的联系及其实际意义 .
⒉理解复变量与复变函数的概念
复变函数与映射（或变换）的概念，一个复变函数与一对二元实函数的关系 .
3. 理解复变函数的导数与解析概念 , 会对一些初等函数求导
区别复变函数的可导性与解析性 , 掌握复变函数可导与解析的判别方法 .
4. 了解复变函数的积分概念 , 知道柯西积分公式
复变函数的积分概念、性质和计算法 , 柯西积分定理，复合闭路定理与柯西积分公式 .
5. 熟练掌握函数在极点处的留数计算
留数的定义，留数的计算公式和留数定理 .
例题解析：
例 1. .
解：答案： 
。
[ 分析 ] 
.
例 2. 
（ ） .
A ． 8 （ 1-i ） B ． 8 （ 1+i ） C ． -8 （ 1-i ） D ． -8 （ 1+i ）
解：答案： D
[ 分析 ] 
，
，
故选择 D 正确 .
例 3. 当 a= 时， 
在定义区域内是解析函数 .
解：答案： 
.
[ 分析 ] 
由 C-R 条件
.
例 4. 计算复积分 
，其中 C 是由直线段 
和上半单位圆围成的闭曲线，取正向 .
解：答案： 
[ 分析 ] 由于 
是解析函数，故 
；
设 
，则
原式 = 
.
例 5. 复积分 
（取正向） .
解：答案： 
[ 分析 ] 根据柯西积分公式，原式 = 
.
例 6. 计算复积分 
（取正向） .
解：答案： 
.
[ 分析 ] 原式 = 
.
例 7. 函数 
的孤立奇点 z=0 是（ ）极点 .
A ． 4 级 B ． 3 级 C ． 2 级 D ． 1 级
解：答案： D
[ 分析 ] 
故 z=0 是 f （ z ）的 1 级极点 .
例 8. 利用留数定理计算复积分 
，其中 C 为正向圆周 |z|=2 .
解：答案： 
．
[ 分析 ] 在 |z|=2 内， 
为 2 级极点， z=0 为单极点；
Res[f （ z ）， 
]= 
，
Res[f （ z ）， 0]= 
；根据留数定理，原积分 = 
．
例 9. 设函数 f （ z ）在圆 C 及其内部解析，且在 C 内部仅有一个 m 级零点 
，试证：
证： 
g （ z ）在 C 内解析；
原积分 = 
．
第五部分：积分变换
学习要点：
周期信号与非周期信号的谐波分解，傅氏变换及其逆变换的定义与性质，拉氏变换及其逆变换的定义与性质，信号的三种表示法在定常线性系统分析中的应用
本章重点：
拉氏变换及其性质，利用拉氏变换求解线性常微分方程
教学要求：
⒈了解傅氏积分公式
傅氏级数的复数形式，傅氏积分定理，傅氏积分公式的其它形式 .
⒉了解傅氏变换概念
傅氏变换及其逆变换的概念，单位脉冲函数及其傅氏变换，傅氏变换的物理意义——频谱 .
⒊了解傅氏变换的性质
线性性质，位移性质，微分性质，积分性质，相似性质 .
⒋了解卷积概念
卷积概念与卷积定理 .
5. 了解拉氏变换的概念
拉氏变换的定义，拉氏变换存在定理，一些常见函数的拉氏变换，周期函数的拉氏变换公式 .
6. 了解拉氏变换的性质
线性性质，位移性质，微分性质，积分性质，相似性质，延迟性质 .
7. 了解拉氏逆变换
复反演积分公式，像原函数的求法 .
8. 了解卷积概念
卷积概念，卷积定理 .
9. 掌握拉氏变换的应用
微分方程的拉氏变换解法，线性系统的传递函数 .
例题解析：
例 1 . 设 
，证明： 
．
证： 
故 
．
例 2 . 
．
解：答案： 
[ 分析 ] 
（利用例 1 结果）．
例 3. 设 
，则其傅氏变换 F[f （ t ） ]= （ ） .
A ． 
B ． 
C ． 
D ． 
解：答案： B
[ 分析 ] 
．
例 4. 设 L[f （ t ） ]=F （ s ）， 
，则 L[f （ at ） ]= ．
解：答案： 
[ 分析 ] 
.
例 5. 
（ ）．
A ． 
B ． 
C ． 
D ． 
解：答案： C ．
[ 分析 ] 
．
例 6. 用拉氏变换求解微分方程初值问题：
．
解：答案： 
．
[ 分析 ] 令 L[x （ t ） ]=X （ s ），方程两边取拉氏变换，利用初始条件得：
，解得 
；
故原方程的解为： 
．