《工程数学》复习与练习

工科普专的《工程数学》课程的内容包括随机事件与概率、随机变量及其数字特征、统计推断、复变函数与积分变换等五个部分（教材为《工程数学》， 张尧庭主编，中央广播电视大学出版社） . 在这里介绍一下教学要求，供同学们复习时参考 .

第一部分：随机事件与概率

【 复习要求 】

⒈了解随机事件的概念

学习随机事件的概念时，要注意它的两个特点：

⑴在一次试验中可能发生，也可能不发生，即随机事件的发生具有偶然性 ；

⑵在大量重复试验中，随机事件的发生具有统计规律性 .

⒉掌握随机事件的关系和运算，掌握概率的基本性质

要了解必然事件、不可能事件的概念，事件间的关系是指事件之间的包含、相等、和、积、互斥（互不相容）、对立、差等关系和运算 .

在事件的运算中，要特别注意下述性质：

， .

概率的主要性质是指：

①对任一事件 ，有

；

② ；

③对于任意有限个或可数个事件 ，若它们两两互不相容，则

.

⒊了解古典概型的条件，会求解简单的古典概型问题

在古典概型中，任一事件 的概率为 ，其中 是 所包含的基本事件个数， 是基本事件的总数 .

⒋熟练掌握概率的加法公式和乘法公式，理解条件概率，掌握全概公式

⑴加法公式：对于任意事件 ，有 ；特别地，当 时有 ；

⑵条件概率：对于任意事件 ，若 ，有 ，称 为 发生的条件下 发生条件概率 .

⑶乘法公式：对于任意事件 ，有 （此时 ），或 （此时 ） .

⑷全概公式：事件 两两互不相容，且 ，则 .

⒌理解事件独立性概念，会进行有关计算

若事件 满足 （当时 ），或 （当时 ），

则称事件 与 相互独立 . 与 相互独立的充分必要条件是 .

【 例题分析 】

例 1 （ 1 ）“ 三个事件中至少两个发生”，这一事件可以表示为 。

（ 2 ）事件 满足 则 。

（ 3 ）对于任意事件 ，则 。

解（ 1 ）答案： 。

[ 分析 ] 根据事件的关系与运算，我们有“ 三个事件中恰有两个发生”表示为 ，而“ 三个事件中都发生”表示为 。

于是，有

（ 2 ）答案：

[ 分析 ] 根据概率的加法公式与乘法公式，我们有

=

（ 3 ）答案：

[ 分析 ]

= 。

例 2 （ 1 ）事件 若满足 ，则 与 一定（ ）

A. 不相互独立 B. 互不相容 C. 相互独立 D. 不互斥

（ 2 ）袋中有 5 个球（ 3 个新球， 2 个旧球），每次取一个，有放回地取两回地取两次，则第二次取到新球的概率是（ ）

A. B. C. D.

解（ 1 ）答案： D

[ 分析 ] 由加法公式，有

而且 时，只有 时，才能保证上式成立，即 φ ，故选择 D 正确。

（ 2 ）答案： A

[ 分析 ] 设 表示“第一次取到新球”的事件， 表示“第二次取到新球”的事件。

例 3 . 袋中装有 5 个球，大小相同，其中 3 个白球， 2 个黑球，有甲、乙两人依次从中各随机不放回地抽取一球，设 表示甲抽取的是黑球， 表示乙抽取的是黑球，求 。

解 :

=

例 4. 某种产品有 80% 是正品，有某种仪器检查时，正品被误定为次品的概率是 3% ，次品被误定为正品的概率是 2% ，设 表示一产品经检查被定为正品， 表示产品确为正品，求 : .

解 : （ 1 ）

（ 2 ）

（ 3 ）

第二部分：随机变量及其数字特征

【 复习要求 】

⒈理解随机变量的概率分布、概率密度的概念，了解分布函数的概念，掌握有关随机变量的概率计算

常见的随机变量有离散型和连续型两种类型 . 离散型随机变量用概率分布 来刻画， 满足：

① ， ② ；

连续型随机变量用概率密度函数 来刻画， 满足：

① ， ② .

随机变量 的分布函数 定义为 ，

对于离散型随机变量 有 ，

对于连续型随机变量 有 .

⒉了解数学期望、方差与标准差的概念，掌握求随机变量期望、方差的方法

⑴数学期望：随机变量的期望记为 ，定义为

（离散型随机变量， 是 的概率分布），

（连续型随机变量， 是 的概率密度） .

⑵方差：随机变量的方差记为 ，定义为

（离散型随机变量），

（连续型随机变量） ，

由此可得方差的简单计算公式 .

⑶随机变量函数的数学期望：随机变量 是随机变量 的函数，即 ，若 存在，则在两种形式下分别表示为

（离散型随机变量， 是 的概率分布），

（连续型随机变量， 是 的概率密度） .

⑷数学期望与方差的性质

①若 为常数，则 ；

②若 为常数，则 ；

③若 为常数，则 .

⒊掌握几种常用离散型和连续型随机变量的分布以及它们的期望与方差 ， 熟练掌握正态分布的概率计算，会查正态分布表

常用分布：

⑴二项分布 的概率分布为

，

特别地，当 时， ，叫做两点分布 ；

⑵均匀分布 的密度函数为 ；

⑶正态分布 的密度函数为 .

将一般正态分布转化为标准正态分布的线性变换：

若 ，令 ，则 ，且 Y 的密度函数为

；

服从标准正态分布的随机变量 的概率为

；

那么一般正态分布的随机变量 的概率可以通过下列公式再查表求出

.

常见分布的期望与方差：

二项分布 ： ；

均匀分布 ： ；

正态分布 ： ；

⒋了解随机变量独立性的概念，了解两个随机变量的期望与方差及其性质

对于随机变量 ，若对任意 有

，

则称 与 相互独立 .

对随机变量 ，有

；

若 相互独立，则有

.

【 例题分析 】

例 1. 设随机变量 的密度函数 ，则 ．

答案：

[ 分析 ] , 得出

例 2 . 离散型随机变量 的概率的分布为

则

答案：

[ 分析 ] 由 ，即 ，因此， 。

例 3. 离散型随机变量 的概率的分布为

则下列各式成立的是（ ）

A. B.

C. D.

答案： A

[ 分析 ] 由于 不是正概率点，因此 。

例 4. 已知随机变量 服从二项分布，且 ，则二项分布的参数 的值为（ ）

A. B.

C. D.

答案： B

[ 分析 ] 当 是，有 ,

解得 。故选择 B 。

例 5. 设随机变量 具有概率密度

求 ．

解：由期望的定义得

　　由方差的计算公式有

例 6. 设 ，试求⑴ ；⑵ ．

（已知 ）

解 : ⑴

　　⑵

第三部分：统计推断

【 复习要求 】

⒈理解总体、样本，统计量等概念，知道 分布， 分布，会查表

所研究对象的一个或多个指标的全体称为总体，组成整体的基本单位称为个体，从总体中抽取出来的个体称为样品，若干个样品组成的集合称为样本 . 样本中所含的样品个数称为样本容量 .

统计量就是不含未知参数的样本函数 .

⒉掌握参数的最大似然估计法

最大似然估计法：设 是来自总体 （其中未知）的样本，而 为样本值，使似然函数

达到最大值的 称为参数 的最大似然估计值 . 一般地， 的最大似然估计值 满足以下方程

.

⒊了解估计量的无偏性，有效性概念

参数 的估计量 若满足 , 则称 为参数 的无偏估计量 .

若 都是 的无偏估计，而且 ，则称 比 更有效 .

⒋了解区间估计的概念，熟练掌握方差已知条件下单正态总体期望的置信区间的求法，掌握方差未知条件下单正态总体期望的置信区间的求法

当置信度 确定后，方差已知条件下单正态总体期望的置信区间是 ，其中 是总体标准差， 是样本均值， 是样本容量， 由 确定，即 .

方差未知条件下单正态总体期望的置信区间是 ，其中 称为样本标准差， 满足 即 .

⒌知道 假设检验的基本思想，掌握单正态总体均值的检验方法，会作单正态总体方差的检验方法

单正态总体均值的检验方法包括 检验法和 检验法：

⑴ 检验法：设 是正态总体 的一个样本，其中 未知， 已知 . 用 检验假设 （ 是已知数）， 。

选取统计量 （其中 ）， . 对给定的显著性水平 ，查标准正态分布数值表得到 ，使得 ，因为 ，故若 ，相当于小概率事件发生了，则拒绝 （即接受 ）；否则接受 （此时称 相容） .

⑵ 检验法：设 是正态总体 的一个样本，其中 , 均未知 . 用 检验假设 （ 是已知数）， .

选取统计量 （其中 ， 称为 的样本方差，它是 的无偏估计量）， 服从自由度为 的 分布。对给定的显著性水平 ，查 分布的临界值表得到临界值 ，使得 , 若 ，相当于小概率事件发生了，则拒绝 （即接受 ）；否则接受 （此时称 相容） .

【 例题分析 】

例 1. （ 1） 设 是来自正态总体 的样本，且 均未知，则（ ）是统计量．

A. B. C. ； D.

答案： B

[ 分析 ] 为不含未知参数的样本的函数 .

（ 2 ）设随机变量 ， 是 的一组样本， , 则 （ ）

A. B. C. D.

答案 : B

[ 分析 ] .

例 2. 若参数 的估计量 满足 ，则称 为 的 ．

答案：无偏估计

例 3． 某种包装箱内装有同一种产品，箱重（单位：千克）服从正态分布 .从中随机抽取 9 箱，测得平均重量 为 780 千克，能否据此认为这批包装箱的 重量为 800 千克 ？

解：零假设 ．由于已知 ，故选取样本函数 ,经计算得

， ， , 查正态分布表得 ，

故拒绝零假设，即不能认为这批 包装箱的 重量为 800 千克．

例 4. 对一种产品的 某项技术指标进行测量，该指标服从正态分布， 今从这种产品中随机地抽取了 16 件，测得 该项技术指标 的平均值为 31.06 ，样本标准差为 0.35 ，求该 项技术指标置信度为 0.95 的置信区间 （ ）．

解： 由于未知 ，故选取样本函数 ,已知 ， 经计算得

, 该 项技术指标 置信度为 0.95 的置信区间为 ，又由已知条件 ，故此置信区间为 .

例 5. 某钢厂生产了一批管材，每根标准直径 100mm ，今对这批管材进行检验，随机取出 9 根测得直径的平均值为 99.9mm ，样本标准差 s = 0.47 ，已知管材直径服从正态分布，问这批管材的质量是否合格（检验显著性水平 ， ） .

解： 零假设 ．由于未知 ，故选取样本函数 ,已知 ，经计算得 ， ,由 已知条件 ，

故接受零假设，即可以认为 这批管材的质量是 合格的 .

第四部分：复变函数

【 复习要求 】

⒈熟练掌握复数的三种表示及其运算

复数的产生 , 复数的运算及其性质 , 利用复平面说明复数的三种表示之间的联系及其实际意义 .

⒉理解复变量与复变函数的概念

复变函数与映射（或变换）的概念，一个复变函数与一对二元实函数的关系 .

3. 理解复变函数的导数与解析概念 , 会对一些初等函数求导

区别复变函数的可导性与解析性 , 掌握复变函数可导与解析的判别方法 .

4. 了解复变函数的积分概念 , 知道柯西积分公式

复变函数的积分概念、性质和计算法 , 柯西积分定理，复合闭路定理与柯西积分公式 .

5. 熟练掌握函数在极点处的留数计算

留数的定义，留数的计算公式和留数定理 .

【 例题分析 】

例 1. .

解：答案： 。

[ 分析 ] .

例 2. （ ） .

A ． 8 （ 1-i ） B ． 8 （ 1+i ） C ． -8 （ 1-i ） D ． -8 （ 1+i ）

解：答案： D

[ 分析 ] ，

，

故选择 D 正确 .

例 3. 当 a= 时， 在定义区域内是解析函数 .

解：答案： .

[ 分析 ] 由 C-R 条件

.

例 4. 计算复积分 ，其中 C 是由直线段 和上半单位圆围成的闭曲线，取正向 .

解：答案：

[ 分析 ] 由于 是解析函数，故 ；

设 ，则

原式 = .

例 5. 复积分 （取正向） .

解：答案：

[ 分析 ] 根据柯西积分公式，原式 = .

例 6. 计算复积分 （取正向） .

解：答案： .

[ 分析 ] 原式 = .

例 7. 函数 的孤立奇点 z=0 是（ ）极点 .

A ． 4 级 B ． 3 级 C ． 2 级 D ． 1 级

解：答案： D

[ 分析 ]

故 z=0 是 f （ z ）的 1 级极点 .

例 8. 利用留数定理计算复积分 ，其中 C 为正向圆周 |z|=2 .

解：答案： ．

[ 分析 ] 在 |z|=2 内， 为 2 级极点， z=0 为单极点；

Res[f （ z ）， ]= ，

Res[f （ z ）， 0]= ；根据留数定理，原积分 = ．

例 9. 设函数 f （ z ）在圆 C 及其内部解析，且在 C 内部仅有一个 m 级零点 ，试证：

证： g （ z ）在 C 内解析；

原积分 = ．

第五部分：积分变换

【 复习要求 】

⒈了解傅氏积分公式

傅氏级数的复数形式，傅氏积分定理，傅氏积分公式的其它形式 .

⒉了解傅氏变换概念

傅氏变换及其逆变换的概念，单位脉冲函数及其傅氏变换，傅氏变换的物理意义——频谱 .

⒊了解傅氏变换的性质

线性性质，位移性质，微分性质，积分性质，相似性质 .

⒋了解卷积概念

卷积概念与卷积定理 .

5. 了解拉氏变换的概念

拉氏变换的定义，拉氏变换存在定理，一些常见函数的拉氏变换，周期函数的拉氏变换公式 .

6. 了解拉氏变换的性质

线性性质，位移性质，微分性质，积分性质，相似性质，延迟性质 .

7. 了解拉氏逆变换

复反演积分公式，像原函数的求法 .

8. 了解卷积概念

卷积概念，卷积定理 .

9. 掌握拉氏变换的应用

微分方程的拉氏变换解法，线性系统的传递函数 .

【 例题分析 】

例 1 . 设 ，证明： ．

证：

故 ．

例 2 . ．

解：答案：

[ 分析 ] （利用例 1 结果）．

例 3. 设 ，则其傅氏变换 F[f （ t ） ]= （ ） .

A ． B ．

C ． D ．

解：答案： B

[ 分析 ] ．

例 4. 设 L[f （ t ） ]=F （ s ）， ，则 L[f （ at ） ]= ．

解：答案：

[ 分析 ] .

例 5. （ ）．

A ． B ．

C ． D ．

解：答案： C ．

[ 分析 ] ．

例 6. 用拉氏变换求解微分方程初值问题：

．

解：答案： ．

[ 分析 ] 令 L[x （ t ） ]=X （ s ），方程两边取拉氏变换，利用初始条件得：

，解得 ；

故原方程的解为： ．

综合练习题

一、填空题

1 . 设 A 、 B 是两个事件，若 P （ B ） =0 . 7 ， P （ A B ） =0 . 8 ，则 ．

2 . 设 A 、 B 是两个事件，若 P （ A ） =0 . 5 ， P （ B ） =0 . 7 ， P （ A B ） =0 . 8 ，则 ______________ ．

3 . 设事件 A 、 B 、 C 两两互不相容，且 P （ A ） =P （ B ） =P （ C ） =0 . 3 ，则 P （ ） = ___________ ．

4 . 设 互不相容，且 ，则 ．

5 . 连续型随机变量 的密度函数是 ，则 ．

6 . 设 为随机变量，已知 ，那么 ．

7 . 样本是由若干个 组成的集合．

8 . 参数 的估计量 满足 ，则称 为 的无偏估计量．

9 . 设 是来自正态总体 已知）的样本值， ，按给定的显著性水平 检验 ，则需选取统计量 ________________________ ．

10 . 假设检验中的显著性水平 为 ____________________________ 发生的概率．

11 . 设总体 X~ ， 为来自总体 X 的一个样本，则样本均值 ~ ___________ ．

12 ．复数 ________________ ．

13 ．设 是 f （ z ）的 m 级极点 ，则 f （ z ）在 处的留数计算公式为 _________________________________________ ．

14 ．设 ，其中 P （ z ）， Q （ z ）在 处解析，且 ，则

__________________ ．

15 ．设 C 是复平面上的正向圆周 |z|=2 ，则积分 _____________ ．

16 ．积分 _______________________ ．

17 ．拉氏逆变换 _______________________ ．

18 ．设 L[f （ t ） ]=F （ s ）， 为常数，则 L[f （ at ） ]= _____________ ．

19 ． 拉氏逆变换 _______________________ ．

二、单项选择题

1 . 袋中有 5 个球， 3 个新球， 2 个旧球，每次抽取一个，无放回地抽取 2 次，则第二次抽到新球的概率为（ ） .

A . B . C . D .

2 ． 10 件产品中有 3 件次品，从中随机抽出 2 件，问至少抽到一件次品的概率为（ ） .

A. B . C . D .

3 . 对任意两个事件 ，等式（　 ）成立 .

A . B .

C . D .

4 . 若等式（　 ）成立，则事件 相互独立 .

A . B .

C . D .

5 . 连续型随机变量取任何指定值的概率（ ） .

A . 等于零 B . 大于零 C . 大于等于零 D . 不能确定

6 . 下列函数中，能作为随机变量密度函数的是（　 ） .

A . B .

C . D .

7 . 设随机变量 ，则 （　 ） .

A . 1 B . C . 0 D .

8 . 设 是来自正态总体 （ 均未知）的样本，则（　 ）是统计量 .

A . B . C . D .

9 . 设 是来自正态总体 （ 均未知）的样本，则统计量（　 ）不是 的无偏估计 .

A . B . C . D .

10 . 设 X 是随机变量， ，则当（ ）时，有 E （ Y ） =0 ， D （ Y ） =1 .

A . B . C . D .

11 ．复 数 （ ）．

A ． B ． C ． 1-i D ． -1-i

12 ． （ ）．

（ A ） （ B ） （ C ） 0 （ D ）

13 ．设 ，则 f （ z ）在复平面上（ ）．

（ A ）处处可导 （ B ）仅在 z=0 处解析 （ C ）处处不可导 （ D ）仅在 z=0 处可导

14 ．设 ，则（ ）．

A ． f （ z ）处处可微 B ． f （ z ）处处不可导

C ． f （ z ）仅在原点可导 D ． f （ z ）仅在 x 轴上可导

15 ． （ ）．

（ A ） （ B ） （ C ） （ D ）

16 ．设 C 为正向圆周： |z|=1 ，则 （ ）．

A ． B ． C ． D ．

17 ．设 ，则拉氏变换 （ ）．

•  （ B ）

（ C ） （ D ）

三、计算应用题

1 . 有五个袋子，各袋中装球情况如下：

（ 1 ）两个袋子中各装有 2 个白球与 4 个黑球；（ 2 ）三个袋子中各装有 3 个白球与 3 个黑球．

现任选一个袋子，并从中任取 2 个球，求取出两个球均为白球的概率．

2 . 设一口袋中有 10 个相同的球，其中 6 白 4 黑，依次有放回地从中任取 2 球，每次取一个，求取到二球颜色是相同的概率．

3 . 甲、乙两人同时独立地射击一个目标， A 表示“甲命中目标”， B 表示“乙命中目标”，若 P （ A ） =0 . 8 ， P （ B ） =0 . 6 ，求目标被命中的概率．

4 . 为两事件，已知 ，求 ．

5 . 某篮球运动员一次投篮投中篮框的概率为 0.8 ，该 运动员投篮 4 次， ⑴ 求 投中篮框不少于 3 次的概率；⑵ 求 至少投中篮框 1 次的概率 ．

6 . 已知随机变量 X 服从二项分布 B （ 4 ， p ），其中 p>0 ，且 P{X=1}= P{X=3} ，试求：

（ 1 ） 参数 p ； （ 2 ） 概率 P{X=2} ．

7 . 设随机变量 X 的概率密度为：

，

试 ` 求： E （ ）．

8 . 设随机变量 具有概率密度

求 ．

9 . 设随机变量 X 服从二项分布 B （ 100 ， 0 . 6 ），试 ` 求： E （ ）．

10 . 设随机变量 X 的分布密度为：

，

求： （ 1 ） 常数 A ；

（ 2 ） 概率 ；

（ 3 ） 数学期望 E （ X ）和方差 D （ X ） .

11 . 设随机变量 X 服从正态分布 ，求：

（ 1 ） ； （ 2 ） .

（已知： ） .

12 . 设随机变量 X 服从正态分布 ，

（ 1 ） 求 ； （ 2 ） 求常数 a ，使 =0 . 90 ．

（已知： ） .

13 . 设 ，计算⑴ ；⑵ .

14 . 设 来自指数分布，密度为

求 的最大似然估计 .

15 . 设来自正态总体 的样本值：

5.1 5.1 4.8 5.0 4.7 5.0 5.2 5.1 5.0

求 的置信度为 0.95 的置信区间 .

16 . 已知某种油漆的干燥时间（单位：小时）服从正态分布 ，其中 与 均未知， ，现抽取了五个样品作试验，得数据 ，并由此计算得：

，

试求未知参数 的置信度为 90% 的置信区间．（已知： ） .

17 . 某糖厂用自动打包机打包，每包标准重量 100kg ，每天需检查一次打包机工作是否正常，某日开工后测得九包糖的重量分别为（单位： kg ）

99.3 98.7 100.5 101.2 98.3 99.7 101.2 100.5 99.5

问：该日打包机工作是否正常 ?

18 . 一台自动车床加工零件的直径 X 服从正态分布，其标准差 ， E （ X ） =5 ，现从一天的产品中抽查 49 个，分别测量直径，计算得： ，问在显著性水平 下，这天的生产是否正常？（已知： ） .

19 . 某单位要估计平均每天职工的总医疗费 X （服从正态分布），观察了 30 天，其总金额的平均值是 170 元，标准差为 30 元，试决定职工每天总医疗费用平均值的置信度为 95% 的置信区间．（已知： ） .

20．设C是从z=0到z=1+i的直线段，计算积分 ．

21． 设函数 为解析函数，试确定实数 a 、 b 、 c 、 d 的值 ．

22．计算积分 ，其中C为正向圆周：|z|=2 ．

23.求函数 在 的留数.

24 ．求函数 的傅氏变换．

25 ．用拉氏变换求解微分方程初值问题： ．

26 ．用拉氏变换解微分方程初值问题： ．

27 ．用拉氏变换求解微分方程初值问题： ．

综合练习题参考答案

一、填空题

1 . 2 .

3 . 0 . 9 4 . 0 5 . 6 . 18 7 . 样品 8 .

9 . 10 . 小概率事件 11 . 12 ． -1 13 ． 14 ． 15 ．

16 ． 17 ． 18 ． 19 ． cos2t

二、单项选择题

1 . A 2 . A 3 . B 4 . C 5 . A 6 . B 7 . D 8 . A 9 . D 10 . C

11 ． C 12 ． C 13 ． D 14 ． D 15 ． D 16 ． C 17 ． A

三、计算应用题

1 . 设事件 A={ 取出的 2 个球均为白球 }

={ 所选袋子中装球情况属于第 i 种 } （ i=1 ， 2 ）

则 ，

由全概率公式得：

2 . 设 A={ 所取两球为白球 } ， B={ 所取两球为黑球 } ，则

又事件 A 与事件 B 互不相容，故

3 . 设 C={ 目标被击中 } ，则 ，且事件 A 与事件 B 相互独立，

4 . 0.25, 0.583, 0.75

5 . ⑴ ⑵

6 . （ 1 ） 由

(2)

7 .

8 .

9 .

10 . (1) 由 ；

(2) ；

（ 3 ）

11 . （ 1 ） ;

(2)

12 . （ 1 ） ；

(2)

13 . ⑴ ⑵

14 .

15 .

16 ．

17 . 该日打包机工作正常

18 . 设 ，因为 ，

拒绝域： |U |>1.96 ，

实测值： ，故否定原假设，认为这天生产不正常，需检修。

19 . ，

故总医疗费用平均值的置信度为 95% 的置信区间为：

20 ． ．

21 ． A=d=2 ， b=c=-1 ．

22 ． 原式 = ．

23 ． ．

24 ． ．

25 ． ．

26 ． ．

27 ． ．