， 《工程数学》（概率统计）期末复习提要
工科普专的《工程数学》（概率统计）课程的内容包括《概率论与数理统计》（ 王明慈、沈恒范主编，高等教育出版社） 教材的全部内容 . 在这里介绍一下教学要求，供同学们复习时参考 .
第一部分：随机事件与概率
⒈了解随机事件的概念
学习随机事件的概念时，要注意它的两个特点：
⑴在一次试验中可能发生，也可能不发生，即随机事件的发生具有偶然性 ；
⑵在大量重复试验中，随机事件的发生具有统计规律性 .
⒉掌握随机事件的关系和运算，掌握概率的基本性质
要了解必然事件、不可能事件的概念，事件间的关系是指事件之间的包含、相等、和、积、互斥（互不相容）、对立、差等关系和运算 .
在事件的运算中，要特别注意下述性质：
，
.
概率的主要性质是指：
①对任一事件 
，有
；
② 
；
③对于任意有限个或可数个事件 
，若它们两两互不相容，则
.
⒊了解古典概型的条件，会求解简单的古典概型问题
在古典概型中，任一事件 
的概率为
，
其中 
是 
所包含的基本事件个数， 
是基本事件的总数 .
⒋熟练掌握概率的加法公式和乘法公式，理解条件概率，掌握全概公式
⑴加法公式：对于任意事件 
，有
，
特别地，当 
时有
；
⑵条件概率：对于任意事件 
，若 
，有
，
称 
为 
发生的条件下 
发生条件概率 .
⑶乘法公式：对于任意事件 
，有
（此时 
），
或 
（此时 
） .
⑷全概公式：事件 
两两互不相容，且 
，则
.
⒌理解事件独立性概念，会进行有关计算
若事件 
满足
（当时 
），
或 
（当时 
），
则称事件 
与 
相互独立 . 
与 
相互独立的充分必要条件是 
.
第二部分：随机变量极其数字特征
⒈理解随机变量的概率分布、概率密度的概念，了解分布函数的概念，掌握有关随机变量的概率计算
常见的随机变量有离散型和连续型两种类型 . 离散型随机变量用概率分布 
来刻画， 
满足：
① 
，
② 
；
连续型随机变量用概率密度函数 
来刻画， 
满足：
① 
，
② 
.
随机变量 
的分布函数 
定义为
，
对于离散型随机变量 
有
，
对于连续型随机变量 
有
.
⒉了解期望、方差与标准差的概念，掌握求随机变量期望、方差的方法
⑴期望：随机变量的期望记为 
，定义为
（离散型随机变量， 
是 
的概率分布），
（连续型随机变量， 
是 
的概率密度） .
⑵方差：随机变量的方差记为 
，定义为
（离散型随机变量），
（连续型随机变量） .
⑶随机变量函数的期望：随机变量 
是随机变量 
的函数，即 
，若 
存在，则在两种形式下分别表示为
（离散型随机变量， 
是 
的概率分布），
（连续型随机变量， 
是 
的概率密度），
由此可得方差的简单计算公式
.
⑷期望与方差的性质
①若 
为常数，则 
；
②若 
为常数，则 
；
③若 
为常数，则 
.
⒊掌握几种常用离散型和连续型随机变量的分布以及它们的期望与方差 ， 熟练掌握正态分布的概率计算，会查正态分布表（见附表）
常用分布：
⑴二项分布 
的概率分布为
，
特别地，当 
时， 
，叫做两点分布 ；
⑵均匀分布 
的密度函数为
；
⑶正态分布 
的密度函数为
.
其图形曲线有以下特点：
① 
，即曲线在 x 轴上方；
② 
，即曲线以直线 
为对称轴，并在 
处 
达到极大值 
；
③在 
处，曲线有两个拐点；
④当 
时， 
，即 
以 
轴为水平渐近线；
特别地，当 
时， 
，表示 
是服从标准正态分布的随机变量 .
将一般正态分布转化为标准正态分布的线性变换：
若 
，令 
，则 
，且 Y 的密度函数为
；
服从标准正态分布的随机变量 
的概率为
；
那么一般正态分布的随机变量 
的概率可以通过下列公式再查表求出
.
常见分布的期望与方差：
二项分布 
： 
；
均匀分布 
： 
；
正态分布 
： 
；
⒋了解随机变量独立性的概念，了解两个随机变量的期望与方差及其性质
对于随机变量 
，若对任意 
有
，
则称 
与 
相互独立 .
对随机变量 
，有
；
若 
相互独立，则有
.
第三部分：统计推断
⒈理解总体、样本，统计量等概念，知道 
分布， 
分布，会查表
所研究对象的一个或多个指标的全体称为总体，组成整体的基本单位称为个体，从总体中抽取出来的个体称为样品，若干个样品组成的集合称为样本 . 样本中所含的样品个数称为样本容量 .
统计量就是不含未知参数的样本函数 .
⒉掌握参数的最大似然估计法
最大似然估计法：设 
是来自总体 
（其中未知）的样本，而 
为样本值，使似然函数
达到最大值的 
称为参数 
的最大似然估计值 . 一般地， 
的最大似然估计值 
满足以下方程
.
⒊了解估计量的无偏性，有效性概念
参数 
的估计量 
若满足
则称 
为参数 
的无偏估计量 .
若 
都是 
的无偏估计，而且 
，则称 
比 
更有效 .
⒋了解区间估计的概念，熟练掌握方差已知条件下单正态总体期望的置信区间的求法，掌握方差未知条件下单正态总体期望的置信区间的求法
当置信度 
确定后，方差已知条件下单正态总体期望的置信区间是
，
其中 
是总体标准差， 
是样本均值， 
是样本容量， 
由 
确定 .
方差未知条件下单正态总体期望的置信区间是
，
其中 
称为样本标准差， 
满足 
.
⒌知道 假设检验的基本思想，掌握单正态总体均值的检验方法，会作单正态总体方差的检验方法
单正态总体均值的检验方法包括 
检验法和 
检验法：
⑴ 
检验法：设 
是正态总体 
的一个样本，其中 
未知， 
已知 . 用 
检验假设 
（ 
是已知数）， 
。
选取统计量 
（其中 
）， 
. 对给定的显著性水平 
，查标准正态分布数值表得到 
，使得
，
因为 
，故若 
，相当于小概率事件发生了，则拒绝 
（即接受 
）；否则接受 
（此时称 
相容） .
⑵ 
检验法：设 
是正态总体 
的一个样本，其中 
, 
均未知 . 用 
检验假设 
（ 
是已知数）， 
.
选取统计量 
（其中 
， 
称为 
的样本方差，它是 
的无偏估计量）， 
服从自由度为 
的 
分布。对给定的显著性水平 
，查 
分布的临界值表得到临界值 
，使得
若 
，相当于小概率事件发生了，则拒绝 
（即接受 
）；否则接受 
（此时称 
相容） .
《工程数学》样题
一、 单项选择题 （每小题 3分，本题共15分）
1 . 同时掷 3 枚均匀硬币，恰好有 2 枚国徽向上的概率为（ ）．
A . 
B . 
C . 
D . 
2 ．若 f （ x ）是连续型随机变量 X 的密度函数，则对任意 
， E （ x ） = （ ）．
A . 
B . 
C . 
D . 
3 . 设 
是来自正态总体 
的样本，则（ ）是统计量．
A . 
B . 
C . 
D . 
4 . 若随机变量 
，且 
，则其中参数 
的值为（ ）．
A . 
B . 
C . 
D . 
5 . 若随机事件 
, 
满足 
，则结论（ ）成立．
A . 
与 
是对立事件 B . 
与 
相互独立
C . 
与 
互不相容 D . 
与 
互不相容
二、填空题（每小题 3分，共15分）
1 . 设 A 、 B 为两个互斥的随机事件，若 
，则 
．
2 . 设 X 为随机变量，且 
，则 
．
3 . 当方差 
已知时，检验假设 
所用的检验是 ．
4 . 设随机变量 
的密度函数 
，则 
．
5 . 若参数 
的估计量 
满足 
，则称 
为 
的 ．
三、计算题 （每小题 10分，共70分）
1 . 一批产品分别来自甲、乙、丙三个厂家，其中 50% 来自甲厂、 30% 来自乙厂、 20% 来自丙厂，已知这三个厂家的次品率分别为 0.01 ， 0.02 和 0.04 。现从这批产品中任取一件，求取出的产品是合格品的概率 .
2 . 设离散型随机变量 X的概率分布为：
X |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
a |
0 . 1 |
0 . 3 |
0 . 5 |
求：（ 1） 常数a ； （2） E（x） ； （3） D（x）.
3 . 设随机变量 X 具有密度函数：
，
求：（ 1 ） 
； （ 2 ） 
．
4 . 设 
，试求⑴ 
；⑵ 
．
（已知 
）
5 . 设人的身高服从正态分布，从某学校某年级女生中随机抽取 6 名，测得其身高如下（单位：公分）：
149 158 . 5 152 . 5 165 157 142
求平均身高的置信水平为 90% 的置信区间． （已知： 
） ．
6 . 某钢厂生产了一批管材，每根标准直径 100mm ，今对这批管材进行检验，随机取出 9 根测得直径的平均值为 99.9mm ，样本标准差 s = 0.47 ，已知管材直径服从正态分布，问这批管材的质量是否合格（检验显著性水平 
， 
）．
7 . 设某种元件的使用寿命 X 的概率密度为
，
其中 
为未知参数，又设 
是来自总体 X 的一个样本观测值， 试求总体参数 
的极大似然估计．
关于期末考试的说明
本课程期末考试采用闭卷笔试形式，卷面满分为 100 分，卷面成绩加平时作业成绩满 60 分为及格。考试时间均为 120 分钟．
试题类型分为单项选择题、填空题和计算题。单项选择题的形式为四选一，即在每题的四个备选答案中选出一个正确答案；填空题只要求直接填写结果，不必写出计算过程和推理过程；计算题要求写出文字说明、演算步骤或推证过程。三种题型分数的百分比为：单项选择题和填空题各占 15% ，计算题 70% ．
综合练习题
一、填空题
1 . 设 A 、 B 是两个事件，若 P （ B ） =0 . 7 ， P （ A 
B ） =0 . 8 ，则 
．
2 . 设 A 、 B 是两个事件，若 P （ A ） =0 . 5 ， P （ B ） =0 . 7 ， P （ A 
B ） =0 . 8 ，则 
______________ ．
3 . 设事件 A 、 B 、 C 两两互不相容，且 P （ A ） =P （ B ） =P （ C ） =0 . 3 ，则 P （ 
） = ___________ ．
4 . 设 
互不相容，且 
，则 
．
5 . 连续型随机变量 
的密度函数是 
，则 
．
6 . 设 
为随机变量，已知 
，那么 
．
7 . 样本是由若干个 组成的集合．
8 . 参数 
的估计量 
满足 ，则称 
为 
的无偏估计量．
9 . 设 
是来自正态总体 
已知）的样本值， 
，按给定的显著性水平 
检验 
，则需选取统计量 ________________________ ．
10 . 假设检验中的显著性水平 
为 ____________________________ 发生的概率．
11 . 设总体 X~ 
， 
为来自总体 X 的一个样本，则 
~ ______________ ．
二、单项选择题
1 . 袋中有 5 个球， 3 个新球， 2 个旧球，每次抽取一个，无放回地抽取 2 次，则第二次抽到新球的概率为（ ） .
A . 
B . 
C . 
D . 
2 ． 10 件产品中有 3 件次品，从中随机抽出 2 件，问至少抽到一件次品的概率为（ ） .
A. 
B . 
C . 
D . 
3 . 对任意两个事件 
，等式（ ）成立 .
A . 
B . 
C . 
D . 
4 . 若等式（ ）成立，则事件 
相互独立 .
A . 
B . 
C . 
D . 
5 . 连续型随机变量取任何指定值的概率（ ） .
A . 等于零 B . 大于零 C . 大于等于零 D . 不能确定
6 . 下列函数中，能作为随机变量密度函数的是（ ） .
A . 
B . 
C . 
D . 
7 . 设随机变量 
，则 
（ ） .
A . 1 B . 
C . 0 D . 
8 . 设 
是来自正态总体 
（ 
均未知）的样本，则（ ）是统计量 .
A . 
B . 
C . 
D . 
9 . 设 
是来自正态总体 
（ 
均未知）的样本，则统计量（ ）不是 
的无偏估计 .
A . 
B . 
C . 
D . 
10 . 设 
是来自总体 X~ 
的样本， 
，则（ ）正确 .
A . 
B . 
C . 
D . 
11 . 设 X 是随机变量， 
，则当（ ）时，有 E （ Y ） =0 ， D （ Y ） =1 .
A . 
B . 
C . 
D . 
三、计算应用题
1 . 有五个袋子，各袋中装球情况如下：
（ 1 ）两个袋子中各装有 2 个白球与 4 个黑球；（ 2 ）三个袋子中各装有 3 个白球与 3 个黑球．
现任选一个袋子，并从中任取 2 个球，求取出两个球均为白球的概率．
2 . 设一口袋中有 10 个相同的球，其中 6 白 4 黑，依次有放回地从中任取 2 球，每次取一个，求取到二球颜色是相同的概率．
3 . 甲、乙两人同时独立地射击一个目标， A 表示“甲命中目标”， B 表示“乙命中目标”，若 P （ A ） =0 . 8 ， P （ B ） =0 . 6 ，求目标被命中的概率．
4 . 
为两事件，已知 
，求 
．
5 . 某篮球运动员一次投篮投中篮框的概率为 0.8 ，该 运动员投篮 4 次， ⑴ 求 投中篮框不少于 3 次的概率；⑵ 求 至少投中篮框 1 次的概率 ．
6 . 已知随机变量 X 服从二项分布 B （ 4 ， p ），其中 p>0 ，且 P{X=1}= P{X=3} ，试求：
（ 1 ） 参数 p ； （ 2 ） 概率 P{X=2} ．
7 . 设随机变量 X 的概率密度为：
，
试 ` 求： E （ 
）．
8 . 设随机变量 
具有概率密度
求 
．
9 . 设随机变量 X 服从二项分布 B （ 100 ， 0 . 6 ），试 ` 求： E （ 
）．
10 . 设随机变量 X 的分布密度为：
，
求： （ 1 ） 常数 A ；
（ 2 ） 概率 
；
（ 3 ） 数学期望 E （ X ）和方差 D （ X ） .
11 . 设随机变量 X 服从正态分布 
，求：
（ 1 ） 
； （ 2 ） 
.
（已知： 
） .
12 . 设随机变量 X 服从正态分布 
，
（ 1 ） 求 
； （ 2 ） 求常数 a ，使 
=0 . 90 ．
（已知： 
） .
13 . 设 
，计算⑴ 
；⑵ 
.
14 . 设 
来自指数分布，密度为
求 
的最大似然估计 .
15 . 设来自正态总体 
的样本值：
5.1 5.1 4.8 5.0 4.7 5.0 5.2 5.1 5.0
求 
的置信度为 0.95 的置信区间 .
16 . 已知某种油漆的干燥时间（单位：小时）服从正态分布 
，其中 
与 
均未知， 
，现抽取了五个样品作试验，得数据 
，并由此计算得：
， 
试求未知参数 
的置信度为 90% 的置信区间．（已知： 
） .
17 . 某糖厂用自动打包机打包，每包标准重量 100kg ，每天需检查一次打包机工作是否正常，某日开工后测得九包糖的重量分别为（单位： kg ）
99.3 98.7 100.5 101.2 98.3 99.7 101.2 100.5 99.5
问：该日打包机工作是否正常 ?
18 . 一台自动车床加工零件的直径 X 服从正态分布，其标准差 
， E （ X ） =5 ，现从一天的产品中抽查 49 个，分别测量直径，计算得： 
，问在显著性水平 
下，这天的生产是否正常？（已知： 
） .
19 . 某单位要估计平均每天职工的总医疗费 X （服从正态分布），观察了 30 天，其总金额的平均值是 170 元，标准差为 30 元，试决定职工每天总医疗费用平均值的置信度为 95% 的置信区间．（已知： 
） .
综合练习题参考答案
一、填空题
1 . 
2 . 
3 . 0 . 9 4 . 0 5 . 
6 . 18 7 . 样品 8 . 
9 . 
10 . 小概率事件 11 . 
二、单项选择题
1 . A 2 . A 3 . B 4 . C 5 . A 6 . B 7 . D 8 . A 9 . D 10 . A 11 . C
三、计算应用题
1 . 设事件 A={ 取出的 2 个球均为白球 }
={ 所选袋子中装球情况属于第 i 种 } （ i=1 ， 2 ）
则 
，
由全概率公式得： 
2 . 设 A={ 所取两球为白球 } ， B={ 所取两球为黑球 } ，则
又事件 A 与事件 B 互不相容，故
3 . 设 C={ 目标被击中 } ，则 
，且事件 A 与事件 B 相互独立，
4 . 0.25, 0.583, 0.75
5 . ⑴ 
⑵ 
6 . （ 1 ） 由 
(2) 
7 . 
8 . 
9 . 
10 . (1) 由 
；
(2) 
；
（ 3 ） 
11 . （ 1 ） 
;
(2) 
12 . （ 1 ） 
；
(2) 
13 . ⑴ 
⑵ 
14 . 
15 . 
16 ． 
17 . 该日打包机工作正常
18 . 设 
，因为 
，
拒绝域： |Z|>1.96 ，
实测值： 
，故否定原假设，认为这天生产不正常，需检修。
19 . 
，
故总医疗费用平均值的置信度为 95% 的置信区间为：
