中央广播电视大学高等专科(含注册视听生)

高等数学课程教学大纲

 

                           

        第一部分  大纲说明

 

    一、课程的作用与任务

“高等数学”课程是中央广播电视大学理工科各专业的一门必修的重要基础理论课，是为培养社会主义建设需要的大专工程技术和工程管理人才服务的。

通过本课程的学习，使学生系统地获得一元函数微积分、无穷级数和常微分方程、空间解析几何与向量代数以及多元函数微积分的基本知识，掌握必要的基础理论和常用的计算方法，使学生初步受到用数学方法解决几何和物理等实际问题的能力训练。

通过各个教学环节，逐步培养学生的抽象概括问题的能力、逻辑推理能力、自学能力，较熟练的运算能力和综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力。为学生学习后续课程和进一步获得近代科学技术知识奠定必要的数学基础。

　　二、课程的目的与要求

　　1.微积分是研究变量变化的一门科学，它所研究的对象是事物运动、变化过程中变量间相互依赖的函数关系。使学生建立变量的思想，认识到学好函数关系的重要性。

　　2.使学生对极限的思想和方法有初步认识，对静止与变化、量变与质变以及有限与无限等辩证关系有初步的了解。使学生初步掌握微积分的基本知识、基本理论和基本技能，培养学生辩证唯物主义观点，受到运用变量数学方法解决一些较简单的实际问题的初步训练，为学习其它课程和今后工作的需要，打下必要的基础。

    3.通过无穷级数的学习，使学生对有限与无限、合成与分解的辩证关系有一个初步的了解。掌握一些有关的基本知识。

　　4.运动变化的客观世界中，很多现象和过程是通过微分方程来描述的。通过学习，使学生对微分方程有初步了解，知道它的某些解法。

　　5.通过学习空间解析几何与向量代数的知识，提高学生空间想象能力和用代数方法研究几何图形的能力。

6.通过学习多元函数微积分，使学生进一步建立变量的思想，提高处理多个变量问题的能力。

　　三、课程的教学要求层次

　　教学要求中，有关定义、定理、性质、特征等概念的内容按“知道、了解和理解”三个层次要求；有关计算、解法、公式和法则等方法的内容按“会、掌握、熟练掌握”三个层次要求。

 

　　　　

　　　　第二部分  学时、教学安排、教材与教学环节

 

　　一、学时分配

　　本课程共8.5学分，课内学时153，其中电视课学时117，VCD学时36，学时分配如下：

 

项目

内       容

课内

学时

电视

学时

VCD

学时

非电视

学时

 

一元函数

 微积分

第1章            函数

5

4

1

1

第2章            极限与连续

8

6

3

2

第3章　导数与微分

13

10

4

3

第4章　导数的应用

15

12

4

3

第5章  不定积分

12

9

4

3

第6章 定积分及其应用

15

12

3

3

小计

    68

53

19

15

无穷级数与常微分

方程

第7章无穷级数

（不含傅里叶级数）

8

8

3

1

第8章  常微分方程

14

11

3

2

小计

22

19

6

3

合计

90

72

25

18

 

 

 

多元函数微积分

第9章  空间解析几何    与向量代数

13

11

3

2

第10章  多元函数微分学           

17

13

4

4

第11章  重积分           

16

10

2

6

第12章  曲线积分与曲面积分介绍

10

6

1

4

        傅里叶级数

5

4

1

1

 

         机动

     2

    1

 

     1

合计

63

45

11

18

总计

153

117

36

36

 

二、教学安排

《高等数学》课程分两个学期讲授，第一学期90学时，内容包括第1章到第8章的内容，其中第7章中的傅里叶级数放在第二学期第12章以后学习；第二学期63学时，内容包括第9章到第12章的内容及傅里叶级数。

三、教材

根据远距离教育的要求和电大学生入学时水平参差不齐的实际情况，教材分主教材和辅导教材，采用合一式编排，按章排序，每章前面部分为主教材内容，后面部分为辅教材内容。

主教材和辅导教材是学生学习的主要用书，主教材是课程的基本内容，是教和学的主要依据。辅导教材对主教材的内容进行解释、归纳、总结，通过例题介绍学习方法，提高解题能力。

　　文字教材是学生获得知识和提高能力的重要媒体之一，教材中对概念的叙述要直观无误，论证要清楚，要适合成人以业余学习为主的特点，要便于自学。

 

　　三、教学环节

　　1.电视课

本课程配有电视课，是重要的教学环节，是学生获得本课程知识的重要方式之一。

2．VCD教材

本课程配有讲座形式的VCD光盘教材，是学生获得本课程知识、自主学习的重要方式之一。

　　3.自学与面授助学

　　注册视听生可以通过自学、收看电视课或使用VCD教材进行学习，各地可以采取灵活多样的助学方式，帮助学生学习。如疑难解答，定点定时的章节讲解、帮学生批改作业等等。面授助学要服务于教学大纲、教材或电视课，采用讲解、讨论、答疑等方式，通过解题思路分析，基本方法训练，培养学生基本运算的能力和分析问题、解决问题的能力。

　　4.作业

　　数学课是理论性较强的学科，由于教学时数所限，本课程的理论推证较少，因此必须通过做练习题来加深对概念的理解和掌握，熟悉各种公式的运用，从而达到消化、掌握所学知识的目的。由此可知，独立完成作业是学好本课程的重要手段。

 

 

　　    第三部分　教学内容和教学要求

 

一、函数、极限与连续(13学时)

 

　　(一)教学内容

　　函数：常量与变量，函数的定义

　　函数的表示方法：解析法，图示法、表格法

　　函数的性质：函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性

　　初等函数：基本初等函数，复合函数，初等函数，分段表示的函数，建立函数关系

极限：数列极限、函数极限、左右极限、极限四则运算，无穷小量与无穷大量，无穷小量的性质，无穷小量的比较，两个重要极限

连续：函数在一点连续，左右连续，连续函数，间断点及其分类，初等函数的连续性，闭区间上连续函数性质的叙述

 

　　重点：函数概念，基本初等函数，极限的计算

　　难点：建立函数关系，极限概念

 

　　(二)教学基本要求

　　1. 理解函数的概念，了解分段函数。能熟练地求函数的定义域和函数值。

　　2. 了解函数的主要性质(单调性、奇偶性、周期性和有界性)。

　　3. 熟练掌握六类基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质和图形。

　　4. 了解复合函数、初等函数的概念。

　　5. 会列简单应用问题的函数关系式。

　　6. 了解极限的概念，知道数列极限的“ε－Ｎ”定义和函数极限的描述性定义，会求左右极限。

　　7. 了解无穷小量的概念，了解无穷小量的运算性质及其与无穷大量的关系，以及无穷小量的比较等关系。

　　8. 掌握极限的四则运算法则.

　　9. 掌握用两个重要极限求一些极限的方法。

　　10. 了解函数连续性的定义，会求函数的连续区间。

　　11. 了解函数间断点的概念，会判别函数间断点的类型。

　　12. 记住初等函数在其有定义的区间内连续的性质，知道闭区间上的连续函数的几个性质。

 

　　二、一元函数微分学(28学时)

 

　　(一)教学内容

　　导数：导数的定义及几何意义，函数连续与可导的关系，基本初等函数的导数，导数的四则运算法则，复合函数求导法则，隐函数求导法则，对数求导法举例，用参数表示的函数的求导法则，高阶导数

　　微分：微分的概念与运算，微分基本公式表，微分法则，一阶微分形式的不变性

　　中值定理：罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的叙述　　　　　　　　　　　　　　

　　导数应用：用洛必塔法则求“”、“”型未定式极限，函数的单调性判                               别法，函数的极值及其求法，函数图形的凹凸性及其判别法，拐点及其求法，水平与垂直渐近线，最大值、最小值问题，弧微分、方程的近似解法(牛顿切线法)

 

　　重点：导数概念和导数的计算，极值

　　难点：导数的应用

 

　　(二)教学基本要求

　　1. 理解导数与微分概念(微分用 dy＝y'dx 定义)，了解导数的几何意义。会求曲线的切线和法线方程。知道可导与连续的关系。

　　2. 熟记导数与微分的基本公式，熟练掌握导数与微分的四则运算法则。

　　3. 熟练掌握复合函数的求导法则。

　　4. 掌握隐函数的微分法，取对数求导数的方法，以及用参数表示的函数求一阶导数的方法。

　　5. 知道一阶微分形式的不变性。 

　　6. 了解高阶导数概念，掌握求显函数的二阶导数的方法。

    7. 了解罗尔定理、拉格朗日中值定理的条件和结论；知道柯西定理的条件和结论。会用拉格朗日定理证明简单的不等式。　　　　　　　　　　

8. 掌握洛比塔法则，会用它求“”、“”型不定式极限。        

9. 了解驻点、极值点、极值、凹凸、拐点等概念。

10.掌握用一阶导数求函数单调区间、极值与极值点（包括判别）的方法，了解可导函数极值存在的必要条件。知道极值点与驻点的区别与联系。

　　11.掌握用二阶导数求曲线凹凸（包括判别）的方法，会求曲线的拐点。

　　12.会求曲线的水平渐近线和垂直渐近线。

　　13. 掌握求解一些简单的实际问题中最大值和最小值的方法，以几何问题为主。

　　

　　三、一元函数积分学(27学时)

 

　　(一)教学内容

　　不定积分：原函数、不定积分概念，不定积分的性质，基本积分公式表

　　积分法：第一换元积分法，第二换元积分法，分部积分法，有理函数积分举例，三角有理式积分举例，积分表的使用

　　定积分：定积分的定义及几何意义。定积分的性质，积分中值定理。原函数存在定理，牛顿—莱布尼兹公式，定积分的换元积分法、分部积分法。定积分的近似计算(梯形法)，广义积分。

　　积分的应用：求平面曲线围成图形的面积，旋转体(绕坐标轴旋转)体积，平面曲线的弧长，变力做功，引力、侧压力等

 

　　重点：积分概念与计算，在几何上的应用

　　难点：积分的计算及其应用

 

　　(二)教学基本要求

　　1.理解原函数与不定积分概念，了解不定积分的性质以及积分与导数(微分)的关系。

　　2.熟记积分基本公式，熟练掌握第一换元积分法和分部积分法。掌握第二换元积分法。

　　3.会求较简单的有理分式函数的积分。

　　4.了解定积分概念(定义、几何意义、物理意义)和定积分的性质。

　　5.了解原函数存在定理，知道变上限的定积分，会求变上限定积分的导数。

　　6.熟练掌握牛顿—莱布尼兹公式，并熟练地用它计算定积分。

　　7.掌握定积分的换元积分法和分部积分法。

　　8. 了解无穷积分收敛性概念，会计算较简单的无穷积分。

　　9. 会用定积分计算简单的平面曲线围成图形的面积(直角坐标系)和绕坐标轴旋转生成的旋转体体积。

 

　　四、无穷级数(13学时)

 

　　(一) 教学内容

　　级数：无穷级数及其收敛性定义，部分和。级数收敛的必要条件，几何级数、p-级数的收敛条件

　　正项级数：收敛判别法比较判别法、比值判别法

　　交错级数：莱布尼兹判别法

　　幂级数：幂级数，幂级数收敛半径及其求法，收敛区间

泰勒级数：泰勒级数，初等函数展成泰勒级数的条件，ex ,sinx,ln(1+x)等的马克劳林级数

    傅里叶级数：三角函数系的正交性，以2π为周期的周期函数的展开(傅里叶系数、傅里叶级数)，在区间(－p，p)和（－l, l）狄利克雷定理的叙述，奇函数、偶函数的傅里叶展开，奇延拓和偶延拓，以2l为周期的周期函数的傅里叶展开。

 

　　重点：幂级数收敛半径的求法，傅里叶展开

　　难点：初等函数展成泰勒级数，求傅里叶系数

 

　　(二)教学基本要求

　　1.了解级数收敛与发散概念及其主要性质，尤其是级数收敛的必要条件，知道几何级数和p级数收敛的条件。

　　2.掌握正项级数收敛性的比值判别法。

　　3.理解幂级数收敛半径概念，熟练掌握求收敛半径的方法。会求收敛区间。

　　4. 知道狄利克雷定理的条件和结论，会在 (－p，p)上将函数展成傅里叶级数。

5.会在 (0，p)上把函数展成正弦级数或余弦级数。

 

　　五、常微分方程(14学时)

　　(一)教学内容

　　基本概念：微分方程及其阶、解(特解、通解)、以及微分方程的分类

　　一阶微分方程：可分离变量的微分方程、齐次型微分方程、一阶线性微分方程(齐次的或非齐次的)的概念及其解法

　　二阶线性微分方程：解的结构，二阶常系数线性齐次微分方程的通解求法，二阶常系数线性非齐次微分方程(特殊自由项)的特解和通解的求法

　　微分方程应用举例

　　重点：基本概念，一阶微分方程和二阶线性常系数微分方程的解法

　　难点：列微分方程，二阶线性常系数非齐次微分方程特解的求法

 

　　(二)教学基本要求

　　1.了解微分方程，阶，解(特解、通解)，线性，齐次，非齐次，初值问题等概念。

　　2.熟练掌握变量可分离微分方程的解法。

　　3.熟练掌握一阶线性方程的解法。

　　4.会解一阶齐次型微分方程。

　　5. 了解特征方程和特征根概念。熟练掌握求二阶线性常系数齐次微分方程通解的特征根法。

　　6.掌握二阶线性常系数非齐次方程(特殊自由项)的特解求法－－待定系数法，并写出通解。

　　六、空间解析几何与向量代数(13学时)

　　(一)教学内容

　　空间直角坐标：空间直角坐标系，点的坐标，两点间距离公式

　　向量代数：向量概念，向量的模，单位向量，向量的加减法，数乘向量，向量的坐标，向径，方向余弦，方向角，向量的数量积、向量积，两向量的夹角，平行、垂直的条件

　　空间平面：平面的点法式方程，一般方程

　　空间直线：直线的标准方程，参数方程，一般方程。平面与直线的位置关系的讨论。

　　空间曲面与曲线：曲线方程的概念，球面、椭球面，旋转抛物面，母线平行于坐标轴的柱面、以坐标轴为轴的圆锥面，空间曲线的参数方程

 

　　重点：向量概念，向量的线性运算，向量的数量积、向量积，平面的点法式方程，直线的标准方程。

　　难点：建立空间概念，向量的向量积。

 

　　(二)教学基本要求

　　1.掌握两点间的距离公式。

　　2.掌握向量概念：模、单位向量、方向余弦，特别是向量的坐标表示。

　　3.掌握向量的数量积和向量积概念、坐标表示，掌握向量平行和垂直的判别条件。

　　4.熟练掌握平面的点法式方程，掌握平面的一般方程，会求点到平面的距离。

　　5.掌握空间直线的标准方程、参数方程和一般方程，会进行方程间的互化，会求直线方程。

　　6.会用方向向量和法向量讨论平面、直线以及它们之间的关系。

　　7.知道球面、椭球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转抛物面的方程。

 

　　七、多元函数微分学(17学时)

 

　　(一)教学内容

　　多元函数：定义，二元函数的几何表示，二元函数的极限、连续介绍，有界闭区域上连续函数性质的叙述

　　偏导数与全微分：偏导数定义，高阶偏导数，混合偏导数与求导次序无关的条件，全微分及全微分存在定理的叙述，复合函数求偏导数(一阶)，隐函数求偏导数(一阶)法则

　　偏导数应用：空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线，多元函数的极值及求法，条件极值与拉格朗日乘数法

　　重点：偏导数与全微分计算，复合函数求偏导数，函数的极值

　　难点：复合函数求偏导数，函数的极值应用问题

　　(二)教学基本要求

　　1.知道二元函数的定义和几何意义，会求二元函数的定义域。

　　2.熟练掌握一阶、二阶偏导数的计算方法和复合函数、隐函数一阶偏导数的计算方法，尤其是形如等的复合函数的偏导数。能熟练地求全微分。

　　3.知道函数连续、可微、偏导数存在的关系。

　　4.掌握求曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线的方法。

　　5.了解二元函数极值的概念，知道极值存在的必要条件，掌握用拉格朗日乘数法求较简单条件极值的应用问题的方法。

 

　　八、多元函数积分学(26学时)

 

　　(一) 教学内容

　　重积分：二重积分的定义，几何意义、性质及计算(直角坐标系下和极坐标系下)

　　二重积分的应用：求立体的体积，空间物体的质心

    曲线积分：第二类(对坐标的)曲线积分的定义，性质及计算，格林公式，平面曲线积分与路径无关的条件，曲线积分的简单应用(变力做功)

    重点：二重积分的计算，第二类曲线积分的计算，格林公式，曲线积分与路径无关的条件

　　难点：二重积分化为两次积分

 

　　(二)教学基本要求

　　1.了解二重积分的定义，了解二重积分的几何意义和线性性质及对区域的可加性。

　　2.熟练掌握在直角坐标系下计算二重积分的方法，并掌握在极坐标系下计算二重积分的方法。会在直角坐标系下交换积分次序。

　　3.掌握求曲顶柱体的体积和曲面围成的空间区域的体积问题。

　　4.了解第二类曲线积分的概念，了解其对积分路径的可加性和有方向性质。

　　5.掌握第二类曲线积分的计算方法。

    6.掌握格林公式的条件与结论。并掌握用格林公式计算闭路曲线积分的方法。

    7.掌握曲线积分与路径无关的条件。

 

关于《高等数学》教学大纲的几点说明

 

从99级开始，高等数学课程对教学大纲的部分内容进行了调整，主要是删减或降低了这些内容的教学要求。凡是继续使用旧教材的省市电大，高等数学教学内容按调整后的教学大纲进行教学（不影响使用）。注册视听生的考试说明也按照新大纲进行调整（不另发考试说明，只发教学大纲的调整说明，见附件）。

附：
《高等数学》教学大纲的调整说明

    新教学大纲在下列方面作了调整：

1．第4章：泰勒公式、函数作图、曲率的内容，不做要求；

2．第6章：瑕积分不做要求

3．第7章: 幂级数的收敛性只在开区间上讨论。

    4．第8章：常微分方程中的幂级数解法、近似解法不做要求。


    5．第10章：最小二乘法不做要求。

6．第12章：三重积分不做要求。


7．第13章：曲面积分不做要求。

其它略作调整的内容，详见教学大纲。