高等数学（ 2）期末复习指导

高等数学（ 2 ）课程的教学内容有：空间解析几何与向量代数、多元函数微分学、重积分、第二类曲线积分、傅里叶级数。下面介绍复习要求及例题分析，供同学们参考。

第 9章 空间解析几何与向量代数

【 复习要求 】

1 ．了解空间直角坐标系概念；掌握空间两点 与 间的距离公式： ．

2 ．掌握向量坐标、方向角、方向余弦、单位向量、模、投影、方向向量、法向量等概念；了解向量的加减法、数乘向量及相应的坐标表示．

3 ．掌握求空间两向量的数量积和向量积的公式．

设 ，则

（ 1 ）数量积：

（ 2 ）向量积

4 ．熟练掌握空间两向量垂直、平行的判别方法．

（ 1 ） ；

（ 2 ） 存在λ使 ．

5 ．掌握平面方程的求解，会求点到平面的距离，并掌握平面与平面之间的位置关系．

（ 1 ）平面的点法式方程 ；

一般式方程 ；

截距式方程 ．

（ 2 ）点 到平面 的距离公式为：

．

（ 3 ）两平面 与 之间的位置关系，其中

① 重合；

② 平行但不重合；

③ ；

④ 若上述三条均不满足，则 与 斜交，其夹角余弦为

．

6 ．掌握空间直线方程的求解及各形式互化，并且了解直线与直线以及直线与平面间的位置关系．

（ 1 ）空间直线的点向式方程 ；

参数式方程 ；

两点式方程 ；

一般式方程

其中 与 不平行．

（ 2 ）平面 与直线 之间的位置关系，其中

① 与 平行，进一步若有 ，则 在 上；

② ；

③ 若上述两条均不满足，则 平面 与直线 斜交，其夹角余弦为

．

7 ．知道几种常见的二次曲面的方程及图形．

（ 1 ）球面： ．

（ 2 ）椭球面： ．

（ 3 ）母线平行于坐标轴的柱面：准线在 xoy 平面上，母线平行于 z 轴的圆柱面 ，椭圆柱面 ，抛物柱面 ，其它类同．

（ 4 ）以坐标轴为中心轴的旋转曲面：由 xoz 平面上曲线 绕 z 轴旋转而得到曲面方程为 ，其它类同．特别由 xoz 平面上直线 绕 z 轴旋转而得到曲面方程为 （圆锥面）；由 xoz 平面上抛物线线 绕 z 轴旋转而得到曲面方程为 （旋转抛物面）．

8 ．知道空间曲线的参数方程为： ．

【 例题分析 】

例 1 （ 1 ）同时垂直于向量 和 z 轴的向量的单位向量是 _________ ．

（ 2 ）当 A=_________ ， B=___________ 时，平面 与直线 垂直．

（ 3 ）平行四边形两邻边为 ，则此平行四边形的面积为 _________ ．

（ 4 ）曲线 绕 y 轴旋转所得曲面方程为 __________ ．

解 ：（ 1 ）应填 ，

［分析］同时垂直于向量 和 z 轴的向量为 ，再单位化即得．

（ 2 ）应填 ，

［分析］平面的法向量 ，直线的方向向量 ，由题设知 ，即

，故 ．

（ 3 ）应填 ，

［分析］由向量积的几何意义得

．

（ 4 ）应填 ，

［分析］在方程 中将 改为 即得．

例 2 与 z 轴垂直的直线 在平面 上且过点 ，求其方程．

解 一：设方向向量为 ，则有 ， ，取 b=1 ，则 ，即得方程 ．

解 二：由题设得到方向向量为 ，再用点向式即得．

例 3 三单位向量 满足 ，求 ．

解： ，即 ；

，即 ；

，即 ；

而 且 ，将以上三式相加得

．

第 10章 多元函数微分学

【 复习要求 】

1 ．知道二元函数的定义和几何意义，会求二元函数的定义域．

2 ．知道偏导数的概念；熟练掌握给定的具体函数的一阶、二阶偏导数的计算方法；掌握 多元 复合函数（抽象形式的，如 ）一阶偏导数的计算方法． 注意多元复合函数是指中间变量也是多元的．例如 ：

设 ，则其函数关系为

利用“连线相乘，分线相加”的 连锁 法则

得

3． 熟练掌握多元全微分的求法， 了解一阶全微分形式的不变性； 会计算隐函数的一阶偏导数 .

函数 的全微分

根据微分运算法则和一阶微分形式不变性可以方便地求出隐函数的偏导数．

例如 , 由　 　则得　

于是

４ .了解多元函数可微、偏导数存在，偏导数连续和函数连续之间的关系，即

　　　偏导数存在

　　 偏导数连续 函数可微

　　　函数连续

注意箭头反向一般不正确 .

5 ．会求空间曲线（参数方程表示）的切线与法平面方程，曲面的切平面与法线方程．

空间曲线 ，在 处的切线方程为

法平面方程为

其中 是切线的方向向量和法平面的法向量．

曲面 ，在点 处的切平面方程为

法线方程为

其中 是函数 在点 处对三个自变量的偏导数，而切平面的法向量和法线的方向向量就是 ．

6 ． 了解多元函数的极值、极值点、驻点等概念，理解并掌握多元函数极值存在的必要条件，弄清驻点，极值点，偏导数不存在的点之间的关系，了解二元函数极值存在的充分条件．了解条件极值的概念， 熟练掌握用拉格朗日乘数法求较简单的极值应用问题．

用拉格朗日乘数法求较简单的极值应用问题的步骤是：

①利用已知条件和相关知识建立函数关系（以二元函数为例）

并确定约束条件

②构建拉格朗日函数

③由 求得驻点，结合问题本身的实际意义，确定从而得到 的最值点 和最值 ．

【 例题分析 】

例 1 (1) 的定义域是 ．

(2) 设 ，则 ．

(3) 曲面 在 处的切平面方程是 ．

(4) 点 是 的极 值点．

(5) 已知函数 具有 ，则 ．

解 ：（ 1 ）应填 ，

［分析］ 的定义域是

即 ．

（ 2 ）应填 ，

［分析］由 知 ，于是 ．

（ 3 ）应填 ，

［分析］设 ， 在 处的切平面的法向量为

于是曲面 在 处的切平面方程是

即 ．

（ 4 ）应填 小 ，

［分析］ ， ，得驻点 (1,0)

， ， ，

由 知点 是 的极小值点．

（ 5 ）应填 ，

［分析］

由 知

，于是 ．

例 2 设 ，其中 是可微函数，求 ．

解 ： 设 ．则， ．于是，

各变量之间的关系为：

故

；

．

例 3 设 由方程 确定，求 ．

解 ： 设

则 ， ，

于是 ， ．

例 4 在平面 上求一点，使该点到原点和 的距离平方和最小.

解 ：设所求的点为（ ，则到原点和点 的距离平方和为

因为点（ 在平面 上，得到条件函数为

设

由　

解出

由于只求出唯一驻点，又知一定存在平面上的点，该点到原点和定点的距离平方和最小，所以平面上的点 到原点和点 的距离平方和最小.

第 11章 重积分

【 复习要求 】

1 ．知道二重积分的定义，了解二重积分的几何意义和性质．

2 ．熟练掌握直角坐标系下二重积分的计算方法；会在直角坐标系下交换积分次序；会在极坐标系下计算二重积分．

（ 1 ）直角坐标系下二重积分的计算公式

， 面积微元

化为累次积分计算可以得到两个计算公式：

①先对y积分，再对x积分： ；

②先对x积分，再对y积分： ．

（ 2 ）极坐标系下二重积分的计算公式

，面积微元

其中直角坐标与极坐标的转换式为： ．

利用极坐标计算二重积分，首先要分清极点与积分区域的位置关系，然后确定积分限，将二重积分化为累次积分进行计算，具体分以下三种情形：

①极点在积分区域D外： ；

②极点在积分区域D内： ；

③极点在积分区域D的边界上：

．

3 ．掌握二重积分的几何应用，会求曲面围成的空间区域的体积 v ．

若 v ： ，则体积 ；

当 时就是曲顶柱体的体积公式．

【 例题分析 】

例 1 （ 1 ）二重积分 _____________________ ．

（ 2 ）由二重积分的几何意义，积分 _______________ ．

解 ：（ 1 ）应填 1 ，

［分析］交换积分次序得 ．

（ 2 ）应填 ，

［分析］曲面 表示上半单位球面，故积分 表示上半单位球体体积的 2 倍，为 ．

例 2 求 ．

解 ：利用极坐标来计算二重积分，

原式 = ．

例 3 求柱面 与二平面 ， 所围空间区域的体积．

解 ：设所求立体的体积是 V ， ，则

．

第 12章 第二类曲线积分

【 复习要求 】

1 ．理解第二类曲线积分的概念和性质，注意第二类曲线积分一般与路径有关．

2 ．掌握第二类曲线积分的计算方法、格林公式、曲线积分与路径无关的条件．一般可按以下步骤进行计算：

（ 1 ）把积分曲线的参数方程代入曲线积分中，使之化为定积分计算：

①曲线L由参数方程 给出，则

②曲线L由方程 给出，则

③曲线L由 给出，则

（ 2 ）若 , 则曲线积分与路径无关，可选平行于坐标的折线段为积分路径计算曲线积分．

（ 3 ）若 ，则曲线积分与路径有关．

① 若 L 为闭曲线，用格林公式将曲线积分化为二重积分计算：

但须满足以下三个条件： D 为平面有界闭域； L 为 D 的正向边界； P 、 Q 在 D 上有一阶连续偏导数．

或将 L 的参数方程代入，化曲线积分为定积分．

② 若 L 非闭曲线，通过添加辅助线 L1 （通常为直线段或折线段），使 L+L1 成为闭曲线，然后用格林公式化简计算： ．

或将 L 的参数方程代入，化曲线积分为定积分．

3 ．知道用曲线积分可表示平面图形面积： ．

【 例题分析 】

例 1 （ 1 ）若第二类曲线积分 是与积分路径无关的，则 k= ___________ ．

（ 2 ）若 D 是由 和 围成的区域， L 是的 D 边界，取逆时针方向，则 ______________________ ．

解 ：（ 1 ）应填 k=1 ，

［分析］ ，由 得： ，故 k=1 ．

（ 2 ）应填 ，

［分析］利用格林公式，

．

例 2 计算曲线积分 ，其中 L 是从 O （ 0 ， 0 ）到 B （ 1 ， 1 ）的曲线， L 分别为以下三种情况： ① ； ② ； ③ 从 O （ 0 ， 0 ）到 A （ 1 ， 0 ）再到 B （ 1 ， 1 ）的折线．

解 ： ① ；

② ；

③

= ．

例 3 计算曲线积分 ，其中 L 为沿右半圆周 从点 O （ 0 ， 0 ）到 A （ 0 ， 2 ）的一段有向曲线．

解 ：作直线段 ，再利用格林公式可得

原式 = ．

第 7章 无穷级数（7、8、9节傅里叶级数部分）

【 复习要求 】

１．记住周期为 的周期函数 的傅里叶系数公式和傅里叶级数形式，会将简单的周期函数展开成傅里叶级数，知道狄利克雷定理，并能利用该定理写出傅里叶级数的成立区间：

　，

　，

　成立区间．

２．记住奇函数，偶函数的傅里叶系数及傅里叶级数的特点：

当 为奇函数时，

　，

则 的傅里叶级数是正弦级数： 　成立区间．

当 为偶函数时，

　，

则 的傅里叶级数是余弦级数： 　成立区间．

３．会将函数 经过奇偶延拓展开成正弦级数或余弦级数．

【 例题分析 】

例 1 （ 1 ）函数 的傅里叶级数 的成立区间是 ．

（２）函数 的傅里叶展开式中的系数 为 ．

解 ：（ 1 ）应填 ，

［分析］函数 在 内连续，由 狄利克雷定理即得 ．

（ 2 ）应填 ，

［分析］ ．

例 2 将函数 展开成傅里叶级数，并写出等式成立的区间．

解 ： ＝ ＝

＝ ＝ ＝

＝ ＝ ＝

＝ ＝

＝ ＝

　，　 ．

例 3 将函数 展开成余弦级数．

解 ： ＝ ＝

＝

＝ ，

　，