江苏电大普通专科计算机专业

《计算机数学基础（ A）》考试（核）说明

《计算机数学基础（A）》课程是江苏电大普通专科计算机专业的一门必修课，课程的内容为多元函数微积分、线性代数和概率论与数理统计等三部分内容组成，全部教学内容为8章。下面逐章提出具体的复习要求，并指出教材的重点和难点内容。希望同学们在复习过程中动手多做些习题，必要时结合例题来理解课程的内容。

多元函数微积分部分：

第 1章 多元函数微分学

本章教学要求：

1. 了解空间直角坐标系的有关概念，知道几个简单的二次曲面，会求空间两点之间的距离。会用联立不等式方程表示平面区域。

2. 了解二元函数的概念。

3. 了解二元函数的偏导数与全微分概念，知道全微分存在的必要条件与充分条件。熟练掌握求偏导数与全微分的方法。会求简单二阶偏导数。

本章重点：

偏导数与全微分。

本章难点：

复合函数微分法。

综合举例 ：

例 1:求函数 的定义域。

解：定义域为

在平面直角坐标系中，它表示以原点为圆心，半径为 a的圆的内部且包括边界圆周。

例 2：求函数 的定义域。

解：这是由两个函数 乘积组成的函数。现分别求两个函数的定义域。

的定义域是：

的定义域是：

因此，函数 的定义域是：

例 3：求 在点（ 1，0）的偏导数。

解：

例 4：设 （ ）。

解： C

例 5：设

解：设

由复合函数求导公式得：

=

=

例 6：设 求它的二阶偏导数。

解：

第 2章 多元函数积分学

本章教学要求：

1. 了解二重积分的概念、几何意义与基本性质，掌握在直角坐标系下计算二重积分的方法，会利用极坐标系计算简单二重积分。

2．了解利用二重积分计算空间立体体积的方法。

本章重点：

二重积分在直角坐标系下的简单计算。

本章难点：

二重积分的应用。

综合举例 ：

例 1：计算

解：原式 =

=

=

=

=

例 2：计算

解：原式 =

=

=

=

=

=e-2

例 3：计算

解：原式 =

=

=

=

=

例 4：计算

解：原式 =

=

=

=

=

例 5：改变下列二次积分的次序：

解：根据所给的二次积分的上、下限画出积分区域 D的图形，将原先对x积分后对y积分改变为先对y积分后对x积分为：

=

线性代数部分：

第 1章 n 阶行列式

本章教学要求：

1．了解n阶行列式的递归定义。掌握利用性质计算行列式的方法。

2．掌握2阶、3阶、4阶行列式的计算。

本章重点：

4阶行列式的计算。

本章难点：

n阶行列式的计算。

综合举例：

例 1:行列式 的充分必要条件是（ ） .

解： D

例 2：设行列式

A.27m B.-27m

C.3m D.-3m

解： A

例 3：设行列式

那么 _____________.

解： 0

例 4 ：行列式 ______________.

解： 4

例 5 ：解关于

解：

例 6 ：计算行列式 .

解：

第 2章 矩阵

本章教学要求：

1. 熟练掌握矩阵的相等、加法、数乘矩阵、乘法、转置等运算，了解它们的运算规律。

2. 了解零矩阵，单位矩阵，数量矩阵，对角矩阵，上(下)三角矩阵，对称矩阵的定义，了解初等矩阵的定义和性质。

3. 掌握方阵乘积行列式定理。

4. 理解可逆矩阵和逆矩阵的概念及性质，掌握矩阵可逆的充分必要条件。

5. 熟练掌握求逆矩阵的初等行变换法，会用伴随矩阵法求逆矩阵，会解简单的矩阵方程。

6. 了解分块矩阵的运算。

本章重点：

矩阵的乘法，用矩阵初等行变换法求逆矩阵。

本章难点：

求逆矩阵。

综合举例：

例 1：设矩阵 的各元素的余子式分别为：

1 ．计算

2 ．写出矩阵 A 的伴随矩阵

3 ．已知矩阵 ，求 A 的逆矩阵 .

解： 1 ．

=

2 ．

3 ．

例 2：设矩阵 则运算（ ）可以进行 .

A.AC B.ABC

C.CB D.AB-BC

解： B

例 3 ：设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下式（ ）是正确的 .

解： B

例 4 ： .

解： A

例 5 ：设 A ， B 均为三阶矩阵且 k>0 ，则下式（ ）成立 .

解： B

例 6 ： .

解： C

例 7：设矩阵 则矩阵乘积 _______________ 是一个 的矩阵 .

解：

例 8 ：若矩阵 A 满足 ，则矩阵 A 是 ____________ 矩阵 .

解：正交

例 9 ：设矩阵 ，则矩阵 B 的伴随矩阵 =_________________.

解：

例 10 ：如果矩阵 A 、 B 、 C 满足 AB=C 且 则 A=_____________.

解：

例 11 ：当 k=_______________ 时，等式 成立 .

解： 1/2

例 12 ：设三阶矩阵 则 A 的伴随矩阵 A*=____________.

解：

例 13 ：设三阶矩阵 _________________.

解： 2

例 14 ：当 a=_______________ 时，矩阵 可逆 .

解：

例 15 ：设矩阵

解：

例 16 ：设矩阵

解：

例 17：设矩阵

求 x,y 使得 xAB+yCD=E

解： xAB+yCD=E

即

例 18：设方程 ，求矩阵 .

解：

第 3章 线性方程组

本章教学要求：

1.掌握向量的线性运算，会判别一个向量能否表示成另一些向量的线性组合，会求线性组合系数，了解向量组线性相关与线性无关的概念。

2.会求向量组的极大线性无关组，了解向量组和矩阵的秩的概念，掌握求向量组的秩和矩阵的秩的方法。

3.理解线性方程组的相容性定理及齐次线性方程组有非零解的充分必要条件。掌握用矩阵初等行变换方法判断齐次与非齐次线性方程组解的存在情况。

4.掌握齐次线性方程组基础解系和通解的求法。

5.了解一般线性方程组解的结构，掌握求非齐次线性方程组通解的方法。

本章重点：

线性方程组相容性定理，矩阵秩的概念，求线性方程组的通解。

本章难点：

向量组线性相关性与齐次线性方程组基础解系的概念。

综合举例：

例 1: 线性方程组 AX=B 有解，则有（ ） .

解： A

例 2：

个解向量 .

A.n B.r

C.r-n D.n-r

解： D

例 3 ：向量组（ ）是三维空间的一个基 .

解： B

例 4：设 n 维向量组 ，如果方程组 只有零解，则向量组 是 ______________. （就相关性回答问题）

解：无关的

例 5 ：设 n 元 n 个方程的线性方程组 AX=B ，如果 r(A)=n ，则其相应齐次方程组 AX=0______________ 解 .

解：只有零（或有唯一）

例 6 ：设 n 维向量 ，当线性方程组 _____________ 时，向量组 线性相关 .

解：有非零解

例 7 ： n 元线性方程组 AX=0 只有零解，则 r(A)= ______________.

解： n

例 8：求向量组 的秩 .

解：

例 9 ：求向量组 的秩和极大线性无关组 .

解：

.

例 10：求齐次线性方程组 的一个基础解系 .

解：

一般解为

所求基础解系为 .

例 11 ：已知线性方程组 AX=B 的增广矩阵经初等行变换化为

（ 1 ） 取何值时，方程组 AX=B 有解？

（ 2 ）当方程组有解时，求方程组 AX=B 的通解 .

解：（ 1 ）当

（ 2 ）当

一般解为

例 12 ：设线性方程组 经初等行变换化为

（ 1）．写出 AX=B 的一般解 .

（ 2）．已知非齐次线性方程组的一般解为

求相应齐次方程的基础解系 .

（ 3 ） ．已知第 2 小题非齐次方程的一个解 ，求它的通解 .

解：（ 1 ） ．一般解为

（ 2 ） ．相应齐次方程组一般解为

所求基础解系为 .

（ 3 ） ．

概率论与数理统计部分：

第 1章 随机事件与概率

本章教学要求：

1.了解随机事件、频率、概率等概念。

2.掌握随机事件的运算，掌握概率的基本性质。

3.了解古典概型的条件，会求解较简单的古典概型问题。

4.熟练掌握概率的加法公式和乘法公式，掌握条件概率和全概率公式。

5理解事件独立性概念。

6.掌握二项概型。

本章重点：

加法公式，条件概率与乘法公式，事件独立性。

本章难点：

古典概型问题的计算，条件概率及其计算。

综合举例：

例 1:将一枚均匀硬币掷三次，则三次中恰好出现两次正面的概率为（ ）。

A.1/4 B.1/8 C.7/8 D.3/8

解： D

例 2 ：若事件 A ， B 相互独立，且 P （ A ） =0.4 ， P （ B ） =0.5 ，则 P （ A+B ） = （ ）。

A.0.9 B.0.2 C.0 D.0.7

解： D

例 3 ：若事件 A ， B 互斥，则下列正确的是（ ）。

A.A 与 B 是对立事件 B.P(AB)=P(A)P(B)

C.P(A+B)=P(A)+P(B) D. =P(B)

解： C

例 4：盒中有10个球，其中红球7个，白球3个，现无放回地抽取，每次取一个，连续取两次，则两个都是红球的概率是（ ）。

解： B

例 5：

解： B

例 6：

解： B

例 7：掷一颗骰子两次，在已知点数和为5的条件下，求第一次得到点数是2的条件概率

p=________________。

解： 1/4

例 8： _________________。

解： 0

例 9：若A、B是两个互不相容的事件，则有P（A+B）=________________________.

解： P(A)+P(B)

例 10：一批产品共100个，其中有5个是次品，随机地从中抽取一个产品，则这个产品是次品的概率是______________________.

解： 5/100

例 11：设某袋内装有大小相同的4个白球和两个黑球。求：取到的两个球中至少有一个白球的概率。

解法Ⅰ： P（取到的两个都是黑球）=

P（取到的至少有一个是白球）=

解法Ⅱ： P（取到两个白球）=

P（先取白球后取黑球）+P（先取黑球后取白球）

=

P（取到的至少有一个是白球）=

例 12：某工地有3台混凝土搅拌机，它们的故障率分别为0.1,0.15,0.1,问三台搅拌机中至少有一台能正常工作的概率。

例 13：某工厂生产某种产品，甲车间的产量占总产量的60%，乙车间的产量占总产量的40%，且甲车间的正品率为90%，乙车间的正品率为95%，求任取一件产品是正品的概率。

例 14： 某篮球运动员一次投篮投中篮框的概率为 0.9 ，该运动员投篮 5 次，求至少 2 次投中篮框的概率。

第 2章 随机变量及其数字特征

本章教学要求：

1.理解随机变量的概率分布、概率密度概念，了解分布函数的概念，掌握有关随机变量的概率计算。

2.了解期望、方差与标准差等概念，掌握求期望、方差与标准差的方法。

3.熟练掌握几种常用离散型和连续型随机变量的分布以及它们的期望与方差。会查正态分布表。

4.了解随机变量独立性概念。

本章重点：

二项分布、均匀分布、正态分布，随机变量的期望与方差。

本章难点：

随机变量的分布函数。

综合举例：

例 1:随机变量 =（ ）。

解： B

例 2：设随机变量 的概率密度函数为

。

A.1 B.0 C.2 D.1/2

解： A

例 3：设 （ ）。

A.1 B.9 C.4 D.8

解： D

例 4：设 则下列结果中服从N（0，1）分布的是（ ）。

解： B

例 5：设X ~ B（n,p）,且E(X)=3,D(X)=2.1,则B(n,p)中的参数n,p分别等于（ ）。

A.30,0.1 B.7,0.1 C.10,0.3 D.10,0.7

解： C

解： D

解： C

解： D

例 9：设离散型随机变量 的概率分布为

则 c=_____________。

解： 1/3

例 10：设随机变量 的数学期望 _____________。

解： 36

例 11：设随机变量 的数学期望分别为 _______。

解： 21

例 12：设随机变量 _____________。

解： 0.5

例 13：设随机变量 服从二项分布B（6，p）,且 则p=__________________。

解： 0.2

例 14：某随机变量的可能取值分别为1、2、3、4，其概率密度函数是1/2，1/4，1/8，k，则k=_________________。

解： 1/8

例 15：设随机变量Ｘ～Ｂ（n,p），则P（X=k）=__________________________。

解：

例 16： 设随机变量

解： 1/8

例 17：

解： 1/12

例 18：设随机变量 。

解：

=

=

=2 （ 1-0.9772 ）

=0.0456

例 19：从数字1，2，3，4中任取2个数，用随机变量 表示其中较大数，试求 的分布。

解：

例 20：

解：

例 21：

解：

例 22：

解：

第 3章 统计推断

本章教学要求：

1.理解总体、样本、统计量的概念，会查正态分布和 t 分布表。

2.掌握参数的矩估计法，会用最大似然估计法估计参数。

3.了解估计量的无偏性、有效性的概念。

4.了解区间估计的概念，熟练掌握求正态总体期望的置信区间。

5.知道假设检验的基本思想，掌握单正态总体均值的检验方法，会作单正态总体方差的检验。

本章重点：

总体、样本、统计量的概念，参数的区间估计，均值检验。

本章难点：

区间估计，似然函数，假设检验。

综合举例：

例 1: 为未知参数，则下列能构成统计量的是（ ）。

解： A

例 2：设 ，下列结论正确的是（ ）。

解： C

例 3： 应取统计为（ ）。

解： C

例 4： 的估计中，下列估计量中满足无偏性的是（ ）。

解： B

例 5：

解： B

例 6：

解： A

例 7：

解： B

例 8：

解： D

例 9：

解： A

例 10：设总体的未知参数 __________________。

解：

例 11：

解：

例 12：比较估计量好坏的两个重要标准是________________________.

解：

例 13：

解：

例 14：

解：有效

例 15：设从某总体抽出容量为5的样本：8，9，10，11，12。试计算该总体的样本均值 与样本方差S 2 。

解：

例 16：经调查知某种植物高度 其中95%的高度在2.02米和3.98米之间，求 。

解：

由题意有

=

=

=

=0.95

查标准正态分布表得：

例 17：

解：

例 18：

解：

例 19：从某校初中学生中抽取16名进行一项心理测试，测试的平均成绩为 分，标准差S=4，若测试成绩的总体 的置信水平为0.95的置信区间。

解： 的置信水平为0.95的置信区间为

当置信水平为0.95时，查t分布表，自由度为15，得

将有关数值代入

=

=

所求置信区间即为

[82.8686,87.1314]

例 20：

解：

解：

例 22：

解：

例 23：正常人的脉搏平均为72次/分。医院量测了9例某种职业病人的脉搏，得样本均值67.4次/分，如果这种职业病人的脉搏 的条件下，这种职业病人的脉搏和正常人的脉搏有无差异？ （U 0.975 =1.96）

解：（ 1）检验假设

（2）已知

显著水平：

从标准正态分布表得

故拒绝域为：

（3）将 代入

（4）由于 ，即认为这种职业病人脉搏与正常人脉搏有差异。

例 24：

解：

。

考试题型： 分为填空题、单项选择题、计算题和证明题，其中填空题和单项选择题的分数占总分数的 35%左右，此类题目主要考查课程中所学的概念，公式，性质等知识，并配有一些经过简单计算就能得出结果的小计算题目；计算题的分数占总分数的60%左右，主要考查学生对课程中所学过的基本计算方法和技能的掌握情况；证明题的分数占总分数的5%左右，主要考查学生的基本逻辑推理能力。