江苏广播电视大学普通专科

环境监测与管理专业

“高等数学基础 (1) ” 课程辅导

《高等数学基础（1）》课程是江苏电大普通专科“ 环境监测与管理 ”专业的一门必修课，课程的内容有一元函数微积分和微分方程，全部教学内容为 7章。下面逐章提出具体的辅导要求，并指出教材的重点内容。希望同学们在学习和复习过程中动手多做些习题，必要时结合例题来理解课程的内容。

第一章 函数

本章教学要求：

一、理解函数的概念，了解确定函数的要素是定义域和对应关系，能根据这两要素判别两个函数是否相等。能熟练地求出函数的定义域。

二、了解函数的主要性质(单调性、奇偶性、周期性、有界性)，会判断函数的奇偶性及奇偶函数的图形特点。

三、掌握六类基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质及其图形。

四、了解复合函数与初等函数的概念，会分析复合函数的复合过程。能把一个复合函数分解成简单函数。

五、对一些较简单的实际问题，会列出函数关系式。

本章重点： 函数的概念，基本初等函数。

综合举例：

例 1:下列函数对中，哪些表示同一个函数？

.

解 : 定义域为

第二章 极限与连续

本章教学要求：

一、了解极限的概念，知道左右极限的概念，知道在x 0 点极限存在的充要条件是f(x)在x 0 的左、右极限存在且相等。

二、理解无穷小的概念，了解无穷小量的运算性质，知道无穷小量之间的比较（高阶无穷小、低阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小）。

三、熟练掌握极限的四则运算法则，注意法则的条件是各部分极限都存在，且分母的极限不为零。

四、知道极限存在的两个准则：夹逼定理及单调数列极限存在定理。熟练掌握两个重要极限：

五、能熟练地运用初等方法（极限的四则运算、无穷小的运算性质、两个重要极限、函数的连续性）及洛必塔法则计算函数的极限。

六、理解函数在一点连续的定义，它包括三部分内容：1）f(x)在x 0 的一个邻域内有定义；2）在x 0 存在极限；3）极限值等于x 0 点的函数值，这三点缺一不可。了解函数在区间上连续的概念，在闭区间上端点是单侧连续。由函数在一点x 0 处连续的定义，会讨论分段函数的连续性。

七、会求函数的间断点， x 0 不是函数的连续点，就称x 0 为函数的间断点。会判断函数间断点的类型。

八、知道连续函数的和、差、积、商 (分母不为零)仍是连续函数。两个连续函数的复合函数仍为连续函数，初等函数在其定义域内是连续的。知道闭区间上连续函数的性质(最大最小值存在定理、零点定理、介值定理)。

本章重点： 求函数的极限 ,函数在一点x 0 的连续性。

综合举例：

第三章 导数与微分

本章教学要求：

一、理解导数与微分的定义。导数 与微分dy这两个概念是等价的。了解导数的几何意义及物理意义，会求曲线的切线方程和法线方程。了解函数在x 0 点连续是可导的必要条件，但不是充分条件，即f(x)在x 0 处可导，则f(x)在x 0 处必连续，反之不然。

二、牢记导数与微分的基本公式，熟练掌握导数与微分的四则运算法则。

三、熟练掌握复合函数求导法则。并会推广到多个中间变量的情形。

四、掌握隐函数的微分法，正确地求出隐函数的一阶导数。

五、了解一阶微分形式的不变性。

六、在掌握基本导数公式、求导法则的基础上，熟练地求出初等函数的一阶导数和微分，并会求导数值。

七、了解高阶导数的概念，会求初等函数的二阶导数。

八、对于幂指函数、多个函数相乘除或较复杂的无理函数，会用取对数求导法求出导数或微分。

九、会求用参数方程表示的函数的一阶导数。

本章重点： 导数与微分的概念及计算。

综合举例：

第四章 导数的应用

本章教学要求：

一、了解拉格朗日中值定理的条件和结论，会用拉格朗日中值定理证明简单的不等式。知道罗尔定理、柯西定理的条件和结论。

二、掌握洛必塔法则，能用该法则求 型不定式的极限以及较简单的 型不定式的极限。

三、知道函数在一点处的泰勒公式和麦克劳林公式。记住e x 、ln(1+x)、sinx、cosx的麦克劳林公式。

四、掌握用一阶导数判别函数增减性的方法，会求函数的增减区间。

五、理解函数极值点及极值的概念和极值点的必要条件，熟练掌握求函数极值的方法(极值的充分条件)。知道驻点和极值点的区别和联系。

六、了解曲线凹凸的概念，掌握用二阶导数判断曲线凹凸的方法，会求曲线的拐点。

七、会求曲线的水平渐近线和垂直渐近线，能用微分法描绘简单的函数图形。

八、了解最大值、最小值的概念，会求闭区间上连续函数的最大值和最小值。

九、熟练掌握求解一些较简单的实际问题中的最大值和最小值的方法。这些实际问题以几何问题为主。

十、了解曲率的概念。

本章重点： 用导数判断函数的增减性及曲线的凹凸性；求函数的极值点及极值；求几何问题中的最大值和最小值。

综合举例：

例 6:做一个容积为V的无盖圆柱形容器,底的单位面积造价为a元,侧面的单位面积造价为b元,试问如何设计底半径和高,才能使总造价最小.

解 :设圆柱形容器底半径为r,则由题意高为

.

第五章 不定积分

本章教学要求：

一、理解原函数与不定积分的概念及关系，了解不定积分的性质。了解不定积分的几何意义。

二、熟记基本 积分公式。

三、熟练掌握第一换元积分法和分部积分法，掌握第二换元积分法。会利用不定积分性质、基本积分公式、第一换元积分法、第二换元积分法和分部积分法计算各种不定积分。

四、会求简单的有理分式函数积分，方法是用待定系数法化成部分分式后再积分。

本章重点： 原函数与不定积分的概念，不定积分的计算。

综合举例：

第六章 定积分及其应用

本章教学要求：

一、理解定积分的概念(包括定义、几何意义等)。了解定积分的主要性质。

二、了解变上限定积分，了解原函数存在定理。

三、熟练掌握牛顿——莱布尼兹公式：

四、熟练掌握定积分的换元积分法：

注意作变量替换时，积分上、下限要作相应的改变。

五、熟练掌握定积分的分部积分法：

注意每一部分都带有积分上、下限。

六、了解广义积分（无穷积分和瑕积分）的概念，会判别一些无穷积分的敛散性，会计算较简单的无穷积分。

七、熟练掌握用定积分计算平面曲线围成的平面区域的面积。

八、熟练掌握用定积分计算平面图形绕坐标轴旋转形成的旋转体体积。

本章重点： 定积分的概念，牛顿——莱布尼兹公式，定积分的计算，计算平面区域的面积和绕坐标轴旋转所成旋转体的体积。

综合举例：

第八章 常微分方程

本章教学要求：

一、了解微分方程的基本概念：微分方程，微分方程的阶、解、特解、通解、初始条件和初值问题，线性微分方程。

二、熟练掌握一阶可分离变量微分方程的解法。

三、熟练掌握一阶线性非齐次微分方程：

的解法——常数变易法和公式法。

四、理解线性微分方程解的性质和解的结构。

五、熟练掌握二阶线性常系数齐次微分方程：

的解法——特征根法。

会根据特征根的三种情况，熟练地写出方程的通解，并根据定解的条件写出方程特解。

六、熟练掌握二阶线性常系数非齐次微分方程：

，当自由项 f(x)为某些特殊情况时的解法——待定系数法。

所谓 f(x)为某些特殊情况是指f(x)为多项式函数，指数函数 。

关键是依据 f(x)的形式及特征根的情况，设出特解y * ,代入原方程，定出y * 的系数。

本章重点： 一阶可分离变量微分方程、一阶线性微分方程、二阶线性常系数微分方程的解法。

综合举例：

解 :B

解 :C

解 :B

高等数学基础（ 1 ）模拟试题

一、填空题（每小题 3 分，共 15 分）

1．若

2 ．

3．函数f(x)= 在点____________处取得极小值.

4 ．若

5 ．

二、单选题（每小题 3 分，共 15 分）

1 ． 在（ ）时为无穷小量 .

2 ．若 f(x) 在 x= 处连续，则有（ ） .

3 ．曲线

A. 单调增加且凸的 B. 单调增加且凹的

C. 单调减少且凸的 D. 单调减少且凹的

4 ．设

5 ．下列微分方程中，（ ）是可分离变量的微分方程 .

三、计算题（每小题 6 分，共 18 分）

1．

2 ．

3 ．由方程

四、计算题（每小题 6 分，共 18 分）

1 ．

2 ．

3 ．

五、计算题（每小题 8 分，共 16 分）

1 ．求 满足 的特解 .

2 ．求 的通解 .

六、应用题（每小题 9 分，共 18 分）

1 ．求内接于抛物线 与 X 轴所围区域内的矩形的最大面积 .

2 ．求由曲线 所围成平面图形的面积 .

高等数学基础（ 1 ）模拟试题答案

一、填空题（每小题 3 分，共 15 分）

1 ．

2．0

3 ． x=-1

4 ．

5 ． 1

二、单选题（每小题 3 分，共 15 分）

1．B 2 ． C 3 ． B 4 ． A 5．A

三、计算题（每小题 6 分，共 18 分）

1 ．

=-3/2

2 ．

3．

四、计算题（每小题 6 分，共 18 分）

1．

2．

3．

五、计算题（每小题 8 分，共 16 分）

1．

2 ．对应齐次方程的通解为：

设原方程的一个特解为

故原方程的一个特解为

因此原方程的通解为：

六、应用题（每小题 9 分，共 18 分）

•  1． 设矩形与抛物线在第一象限的交点为（ x,y）

则所求面积 S=2xy=

因此最大矩形面积为

•  2． 所围面积

=1/3

考试题型 ： 分为填空题、单项选择题和计算题（包括应用题），其中填空题和单项选择题的分数占总分数的 30% 左右，此类 题目主要考查课程中所学的概念，公式，性质等知识，并配有一些经过简单计算就能得出结果的小计算题目；试卷中计算题（包括应用题）的分数占总分数的 70%左右，主要考查学生对课程中所学过的基本计算方法和技能的掌握情况。

平时成绩占 20%；期末统考占80%。