《机械优化设计基础》平时作业

练习一：

1 优化设计的数学模型是有哪些要素构成的？

2 什么是设计常量？设计变量？设计变量的种类？

3 什么是目标函数？目标函数的种类？

4 什么是约束条件？约束条件的种类？

5 写出优化设计数学模型的一般形式。

6 如图，从直径 D=100mm 的圆木中锯出矩形梁，选择矩形的长 b 和高 h ，以使抗弯强度（截面系数 W=bh 2 /6 ）为最大。

7 已知某约束优化问题的数学模型为

min f(x) = (x 1 - 3) 2 +(x 2 - 4) 2

s.t.     g 1 (x)=5-x 1 -x 2 ≥0

g 2 (x)=x 1 -x 2 -2.5≥0

g 3 (x)=x 1 ≥0

g 4 (x)=x 2 ≥0

1) 试按一定比例尺画出当目标函数 f(x) 之值分别等于 1 、 2 、 3 、 4 时的 4 条等值线，并在图上画出可行域。

2) 从图上确定无约束最优解（ x 1 *,   f 1 * ）和约束最优解（ x 2 *,   f 2 * ）。

3) 该问题属于线性规划还是非线性规划问题？

4) 若在该问题中又加入等式约束 h(x)=x 1 -x 2 =0 后，试确定该问题有无最优解？

练习二：

1. 什么是方向导数？导出方向导数与偏导数之间的关系。

2. 什么是梯度？什么是梯度的模

3. 求二元函数 f(x 1 ， x 2 )=x 1 2 +x 2 2 -4x 1 -2x 2 +5 在 X 0 =[2 ， 2] T 处的梯度及梯度的模。

4. 什么是凸集？凸函数？凸规划？叙述凸函数的性质和凸规划的性质

5. 设某无约束优化问题的目标函数为 f(x)= x 1 2 +9x 2 2 ，已知初始迭代点 X 0 =[2 ， 2] T ，第 1 次迭代所取的方向 S 0 =[-4 ， -36] T ，步长 α 0 =0.05616 ，第 2 次迭代所取的方向 S 1 =[-3.55069 ， -0.39451] T ，步长 α 1 =0.45556 ，试计算：

(1) 第 1 次和第 2 次迭代计算所获得的迭代点 X 1 和 X 2 ；

(2) 在点 X 0 、 X 1 、 X 2 处的目标函数值 f 0 、 f 1 、 f 2 ；

(3) 用梯度准则判别完成了第 2 次迭代后能否终止迭代，精度要求 ε =0.01。

练习三：

1. 什么是一维搜索方法？

2. 叙述一维优化方法的步骤。

3. 已知某汽车行驶速度 x 与每公里耗油量的函数关系为 f(x)=x+20/x ，试用 0.618 法确定速度 x 在每分钟 0.2~1km 时的最经济速度 x * 。精度为 ε =0.01。

练习四：

1. 什么是无约束优化问题的模型？其算法主要分哪两类？

2. 已知无约束优化问题

        min f(X)=1.5x 1 2 +0.5x 2 2 -x 1 x 2 -2x 1

           取初始点 X 0 =[-2 ， 4] T 。试用鲍威尔共扼方向法求其最优解

   3 ．用牛顿法求解无约束优化问题

min f(X)= x 1 2 + 4x 2 2

           取初始点 X 0 =[0.5 ， 1] T ，计算精度 ε =0.01。

练习五：

1. 线性规划的标准形式是什么？ 基本性质如何？

2. 将下面的线性规划问题表示为标准形式并用单纯形法求解

        max f(X)= -2x 1 - x 2 + 5x 3

                   s .t.   x 1 - 2x 2 + x 3 ≤ 8

3x 1 - 2x 2   ≥ 18

2x 1 + x 2 - 2x 3 ≤ -4

练习六：

1. 约束优化方法可分为哪两类？

2. 试用复合形法求目标函数 f(X) = 25/x 1 x 2 3 的极小值，已知约束条件为

                 50 – 30/ x 1 x 2 2 ≥ 0

0.001- 0.0004 x 1 x 2 ≥ 0

2 ≤ x 1 ≤ 4

0.5 ≤ x 2 ≤ 1

3. 对于约束优化问题

     min f(X) = x 1 2 + x 2 2

                s .t.      g (X) = x 1 - 1 ≥ 0

试用外罚函数法求其最优解 .

练习七：

     1. 利用优化方法解决机械优化设计问题的一般步骤是什么？